ज्ञात कीजिए। 12 सेमी त्रिज्या के एक बेलनाकार टब में 20 सेमी ऊँचाई तक पानी भरा है। लोहे की एक गोलीय गेंद टब में उालों जाती है। और इस प्रकार पानी का स्तर 6.75 सेमी कपर गठ जाता है। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [UP 2015, 16] एक टोस धातु के बेलन के दोनों सिरे अर्धगोलाकार है। इसकी समूर्ण ऊँचाई 19 सेमी हैं तथा बेलन का व्यास 7 सेमी है। इस टोस का भार ज्ञात कीजिए यदि 1 सेमी \( ^{3} \) धातु का भार 4.5 ग्राम है। \( \left(\pi=\frac{22}{7}\right) \)

नीचे विस्तार से हल प्रस्तुत है: ────────────────────────────── समस्या 1: ────────────────────────────── दी गई जानकारी – • बेलनाकार टब की त्रिज्या (r₁) = 12 सेमी • टब में पानी की प्रारंभिक ऊँचाई = 20 सेमी • जब लोहे की गोलीय गेंद टब में डाली जाती है तो पानी का स्तर 6.75 सेमी बढ़ जाता है। गेंद के डूबने से displaced पानी का आयतन, टब में पानी की ऊँचाई में वृद्धि के कारण, निम्न प्रकार से होगा:   डिसप्लेस्ड आयतन = (बेलन का आधार क्षेत्रफल) × (पानी में वृद्धि)     = π · (12)² · 6.75       = π · 144 · 6.75       = 972 π सेमी³              (क्योंकि 144×6.75 = 972) गोलाकार गेंद का आयतन (Vₛphere) = (4/3) π r³                             जहाँ r यहाँ गेंद की त्रिज्या है। डिसप्लेस्ड पानी का आयतन गेंद के आयतन के बराबर होगा:   972 π = (4/3) π r³ π को दोनों ओर से रद्द करते हुए,   972 = (4/3) r³ अब r³ निकालने के लिए:   r³ = 972 × (3/4) = (972×3)/4 = 2916/4 = 729 अतः, r = घनमूल(729) = 9 सेमी इस प्रकार, गोली की त्रिज्या 9 सेमी है। ────────────────────────────── समस्या 2: ────────────────────────────── दी गई जानकारी – • टोस (धातु का ठोस बोडी) का आकार – एक बेलन जिसके दोनों छोर पर अर्धगोलाकार (हेमिस्फीयर) लगे हुए हैं। • टोस की कुल ऊँचाई = 19 सेमी • बेलन का व्यास = 7 सेमी  ⇒  त्रिज्या r = 7/2 = 3.5 सेमी • 1 सेमी³ धातु का भार = 4.5 ग्राम • π = 22/7 सबसे पहले टोस के दो भागों के आयतन ज्ञात करें: 1. बेलन का आयतन (V₁):   V₁ = (बेलन का आधार क्षेत्रफल) × (बेलन की ऊँचाई)   टोस में कुल ऊँचाई = बेलन की ऊँचाई + 2×(अर्धगोलार्ध का व्यास)   अर्धगोलार्ध के दोनों मिलाकर एक पूर्ण गोला बनते हैं और उनका कुल ऊँचाई = 2r = 7 सेमी   इसलिए बेलन की ऊँचाई = 19 – 7 = 12 सेमी   अब,   V₁ = π r² h = (22/7) × (3.5)² × 12   (3.5)² = 12.25, अतः   V₁ = (22/7) × 12.25 × 12   पहले 12.25×12 = 147     तो, V₁ = (22/7) × 147 = 22 × 21 = 462 सेमी³ 2. गोले का आयतन (V₂):   बल्कि, दो अर्धगोलार्ध मिलकर एक पूरा गोला बनाते हैं।   पूर्ण गोले का आयतन = (4/3) π r³   जहाँ r = 3.5 सेमी   r³ = (3.5)³ = (7/2)³ = 343/8   इसलिए,   V₂ = (4/3) × (22/7) × (343/8)   इन्हें क्रमबद्ध करते हैं:   = (4 × 22 × 343) / (3 × 7 × 8)   पहले, 4/8 = 1/2, अतः   = (22 × 343) / (3 × 7 × 2) = (22 × 343) / 42   अब, 22/42 = 11/21, अतः   V₂ = (11 × 343) / 21   जहाँ 343/21 = 343 ÷ 21 = 16.333… परन्तु बेहतर है इसे भिन्न के रूप में रखें:   343 ÷ 7 = 49 तथा 21 ÷ 7 = 3, अतः 343/21 = 49/3   ⇒ V₂ = 11 × (49/3) = 539/3 सेमी³     ≈ 179.67 सेमी³ अब कुल आयतन, V_total = V₁ + V₂   = 462 + (539/3) सेमी³   = (462×3)/3 + (539/3) = (1386 + 539) / 3 = 1925/3 सेमी³   ≈ 641.67 सेमी³ अब भार (mass) = (कुल आयतन) × (घनत्व)   = (1925/3) × 4.5 ग्राम   ध्यान दें 4.5 = 9/2, अतः:   = (1925/3) × (9/2) = (1925 × 9) / 6 = (17325)/6 ग्राम   = 2887.5 ग्राम   = 2.8875 किलोग्राम (लगभग) ────────────────────────────── उत्तर: 1. गोली की त्रिज्या = 9 सेमी 2. टोस का भार ≈ 2887.5 ग्राम या लगभग 2.89 किग्रा इस प्रकार, दोनों प्रश्नों के हल उपलब्ध हैं।