3. Find the vertex form for \( f(x)=4 x^{2}+4 x-3 \) and then find the intercepts, the vertex, the maximum or minimum, and the range.

Найдем представление функции в вершиной форме, а затем определим все требуемые характеристики. 1. Представление функции в виде вершины: Исходная функция:   f(x) = 4x² + 4x – 3 Вынесем коэффициент при x²:   f(x) = 4 (x² + x) – 3 Выполним выделение полного квадрата для выражения в скобках. Заметим, что   x² + x = (x + ½)² – (½)² = (x + ½)² – ¼ Подставим обратно:   f(x) = 4 [(x + ½)² – ¼] – 3      = 4(x + ½)² – 4·(¼) – 3      = 4(x + ½)² – 1 – 3      = 4(x + ½)² – 4 Таким образом, функция в вершиной форме имеет вид:   f(x) = 4(x + ½)² – 4 2. Нахождение вершины параболы: Из записи f(x) = 4(x + ½)² – 4 видно, что вершина находится в точке   x = –½, y = –4 То есть, вершина: (–½, –4). Поскольку коэффициент при (x + ½)² равен 4 > 0, парабола имеет ветви, направленные вверх, следовательно, вершина является точкой минимума. 3. Нахождение x-пересечений (корней): Найдем значения x, при которых f(x) = 0:   4x² + 4x – 3 = 0 Используем формулу корней квадратного уравнения:   x = [–b ± √(b² – 4ac)] / (2a), где a = 4, b = 4, c = –3. Вычисления:   Дискриминант: D = b² – 4ac = 4² – 4·4·(–3) = 16 + 48 = 64   √D = 8 Тогда:   x = (–4 ± 8) / (2·4) = (–4 ± 8) / 8 Получаем два корня:   x₁ = (–4 + 8)/8 = 4/8 = ½   x₂ = (–4 – 8)/8 = –12/8 = –3/2 Итак, x-пересечения:   x = ½ и x = –3/2. 4. Нахождение y-пересечения: Подставим x = 0 в исходную функцию:   f(0) = 4·0² + 4·0 – 3 = –3. Таким образом, y-пересечение:   (0, –3). 5. Минимум и область значения: Как уже установлено, поскольку ветви параболы направлены вверх, вершина (–½, –4) является точкой минимума. Минимальное значение функции –4. Область значений (range) определяется условием:   f(x) ≥ –4. То есть,   Область значений: [–4, ∞). Подытожим все результаты: ───────────────────────────── • Вершинная форма:   f(x) = 4(x + ½)² – 4 • Вершина:      (–½, –4) • x-пересечения:   x = –3/2 и x = ½ • y-пересечение:   (0, –3) • Минимум функции:  –4 (в точке (–½, –4)) • Область значений:  [–4, ∞) ─────────────────────────────