2.1) \( \frac{x}{\sqrt{3}}+3=\frac{x}{\sqrt{5}} \)

Para resolver la ecuación: \[ \frac{x}{\sqrt{3}} + 3 = \frac{x}{\sqrt{5}} \] **Paso 1: Aislar los términos que contienen \( x \)** Primero, movemos todos los términos que contienen \( x \) al mismo lado de la ecuación y los términos constantes al lado opuesto: \[ \frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{x}{\sqrt{5}} = -3 \] **Paso 2: Factorizar \( x \) en la expresión de la izquierda** Factorizamos \( x \) para simplificar la ecuación: \[ x \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = -3 \] **Paso 3: Encontrar una expresión común para los denominadores** Para simplificar la expresión dentro del paréntesis, encontramos una expresión común para los denominadores: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{15}} \] **Paso 4: Sustituir y resolver para \( x \)** Sustituyendo la expresión simplificada en la ecuación: \[ x \left( \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{15}} \right) = -3 \] Para aislar \( x \), multiplicamos ambos lados por \( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \): \[ x = -3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \] **Paso 5: Racionalizar el denominador** Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para racionalizar: \[ x = -3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = -3 \cdot \frac{\sqrt{15}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} \] Simplificando el denominador: \[ x = -3 \cdot \frac{\sqrt{15}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} \] **Paso 6: Simplificar la expresión final** Podemos reescribir la expresión final de la siguiente manera: \[ x = \frac{3\sqrt{15}(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{2} \] **Respuesta Final:** \[ x = \frac{3\sqrt{15}(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{2} \]