Dada la curva con ecuación \( -2 \cdot x^{2}-2 \cdot y^{2}+36=0 \) determinar la re \( (3,-3) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \[ \frac{d y}{d x}=\square \] Escribe la denvada anterior de manera implícita. \[ \left.\frac{d y \mid}{d x}\right|_{(3,-3)}=\square \] Escribe la recta tangente y normal en forma pendiente ordenada (es los espacios correspondientes: recta tangente: \( \square \) recta normal: \( \square \)

Soit la courbe d'équation \[ -2x^2 - 2y^2 + 36 = 0. \] En multipliant par \(-1\) et en divisant par \(2\), on obtient : \[ x^2 + y^2 - 18 = 0. \] 1. Pour obtenir la dérivée implicite, on dérive par rapport à \(x\) : \[ \frac{d}{dx}\left( x^2 + y^2 - 18 \right)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2y\frac{dy}{dx}=0. \] On isole \(\frac{dy}{dx}\) : \[ 2y\frac{dy}{dx} = -2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}. \] Ainsi, \[ \frac{dy}{dx}=\boxed{-\frac{x}{y}}. \] 2. On évalue la dérivée au point \((3,-3)\) : \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,-3)} = -\frac{3}{-3} = 1. \] Donc, \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,-3)}=\boxed{1}. \] 3. La droite tangente est donnée par la formule point-pente : \[ y - y_0 = m(x - x_0), \] avec \(m=1\) et le point \((x_0,y_0)=(3,-3)\). Ainsi, \[ y + 3 = 1\,(x-3) \quad\Longrightarrow\quad y = x - 6. \] La droite tangente est donc : \[ \text{Tangente: } \boxed{y = x - 6}. \] 4. La droite normale est perpendiculaire à la tangente. Sa pente est l'inverse opposé de \(1\), soit \(-1\). En utilisant le même point \((3,-3)\) : \[ y + 3 = -1\,(x-3) \quad\Longrightarrow\quad y = -x. \] La droite normale est donc : \[ \text{Normale: } \boxed{y = -x}. \]