Problema 1. Luis elabora juegos de joyeria artesanal que contienen dos piezas: un collar y una pulsera. Para ello, utiliza las siguientes figuras de plata. Las cuales tienen el costo de \( \$ 100, \$ 50 \) y \( \$ 25 \) respectivamente. La pulsera y el collar pueden estar compuestos por un arreglo ordenado de figuras de plata, que en conjunto cuestan una cierta cantidad. Luis considera diferentes las piezas de joyeria cuando tienen al menos una figura de plata distinta o bien cuando tienen las mismas figuras colocadas en distinto orden. ¿cuántos juegos de joyeria artesanal diferente puede diseñar Luis de tal manera que una pieza cueste \( \$ 100 \) y la otra \( \$ 125 \) ?

Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones y los costos de las piezas de joyería que Luis puede elaborar. ### Condiciones conocidas: 1. **Costos de las figuras de plata**: - Figura A: \$100 - Figura B: \$50 - Figura C: \$25 2. **Costos de las piezas**: - Una pieza debe costar \$100. - La otra pieza debe costar \$125. ### Paso 1: Determinar las combinaciones para la pieza de \$100 Para la pieza que cuesta \$100, las combinaciones posibles son: - 1 figura A (costo \$100) - 2 figuras B (costo \$50 + \$50) - 4 figuras C (costo \$25 + \$25 + \$25 + \$25) - 1 figura B y 2 figuras C (costo \$50 + \$25 + \$25) Ahora, vamos a calcular las combinaciones posibles para cada caso: 1. **1 figura A**: Solo hay 1 forma de hacer esto. 2. **2 figuras B**: Hay 1 forma de hacer esto. 3. **4 figuras C**: Hay 1 forma de hacer esto. 4. **1 figura B y 2 figuras C**: Las combinaciones de las figuras son \( \frac{3!}{1!2!} = 3 \) (donde 3! es el factorial de 3, 1! es el factorial de 1 y 2! es el factorial de 2). Por lo tanto, las combinaciones para la pieza de \$100 son: - 1 (A) - 1 (B + B) - 1 (C + C + C + C) - 3 (B + C + C) Total de combinaciones para la pieza de \$100: \( 1 + 1 + 1 + 3 = 6 \). ### Paso 2: Determinar las combinaciones para la pieza de \$125 Para la pieza que cuesta \$125, las combinaciones posibles son: - 1 figura A y 1 figura B (costo \$100 + \$50) - 1 figura A y 1 figura C (costo \$100 + \$25) - 2 figuras B y 1 figura C (costo \$50 + \$50 + \$25) - 5 figuras C (costo \$25 + \$25 + \$25 + \$25 + \$25) - 1 figura B y 3 figuras C (costo \$50 + \$25 + \$25 + \$25) Ahora, vamos a calcular las combinaciones posibles para cada caso: 1. **1 figura A y 1 figura B**: Hay 2! = 2 formas de hacer esto (A, B) o (B, A). 2. **1 figura A y 1 figura C**: Hay 2! = 2 formas de hacer esto (A, C) o (C, A). 3. **2 figuras B y 1 figura C**: Las combinaciones de las figuras son \( \frac{3!}{2!1!} = 3 \). 4. **5 figuras C**: Hay 1 forma de hacer esto. 5. **1 figura B y 3 figuras C**: Las combinaciones de las figuras son \( \frac{4!}{1!3!} = 4 \). Por lo tanto, las combinaciones para la pieza de \$125 son: - 2 (A + B) - 2 (A + C) - 3 (B + B + C) - 1 (C + C + C + C + C) - 4 (B + C + C + C) Total de combinaciones para la pieza de \$125: \( 2 + 2 + 3 + 1 + 4 = 12 \). ### Paso 3: Calcular el total de juegos de joyería Finalmente, para encontrar el total de juegos de joyería diferentes que puede diseñar Luis, multiplicamos el número de combinaciones de cada pieza: \[ \text{Total de juegos} = \text{Combinaciones de pieza de } \$100 \times \text{Combinaciones de pieza de } \$125 \] \[ \text{Total de juegos} = 6 \times 12 = 72 \] ### Respuesta final: Luis puede diseñar **72 juegos de joyería artesanal diferentes**.