the solution to each systen $$ \left\{y \geq-\frac{5}{3} x+2 y \geq-3\right. $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Empezamos con el sistema de inecuaciones:
   $$
   \begin{cases}
   y \geq -\frac{5}{3} x + 2 \
   y \geq -3
   \end{cases}
   $$

2. Interpretamos cada inecuación de la siguiente manera:
   - La primera inecuación, $$ y \geq -\frac{5}{3} x + 2 $$, representa la región de puntos sobre (o sobre la línea de) la recta $$ y = -\frac{5}{3}x + 2 $$.
   - La segunda inecuación, $$ y \geq -3 $$, representa la región de puntos sobre (o sobre la línea de) la recta horizontal $$ y = -3 $$.

3. Para determinar la región solución del sistema, buscamos la intersección de ambas regiones.

4. Encontramos el punto de intersección de las dos rectas resolviendo la ecuación:
   $$
   -\frac{5}{3} x + 2 = -3.
   $$

5. Despejamos la ecuación:
   $$
   -\frac{5}{3} x + 2 = -3 \quad \Rightarrow \quad -\frac{5}{3} x = -3 - 2 = -5.
   $$
   Multiplicamos ambos lados por $$-\frac{3}{5}$$ (recordando invertir el signo):
   $$
   x = \left(-5\right) \left(-\frac{3}{5}\right) = 3.
   $$

6. Sustituyendo $$ x = 3 $$ en cualquiera de las ecuaciones (por ejemplo, en $$ y = -3 $$):
   $$
   y = -3.
   $$
   Así, el punto de intersección es $$(3, -3)$$.

7. La solución del sistema es la intersección de las dos regiones:
   - Para $$ x \leq 3 $$: La recta $$ y = -\frac{5}{3} x + 2 $$ se encuentra por encima de $$ y=-3 $$, por lo que la condición importante es $$ y \geq -\frac{5}{3} x + 2 $$.
   - Para $$ x \geq 3 $$: La recta $$ y = -\frac{5}{3} x + 2 $$ está por debajo de $$ y=-3 $$, y la inecuación $$ y \geq -3 $$ es la restrictiva.

8. En conclusión, la solución puede expresarse de forma compacta como:
   $$
   \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq \max\{-\frac{5}{3}x + 2, \ -3\}\}.
   $$
La solución al sistema de inecuaciones es todo el plano donde $$ y $$ es mayor o igual a la mayor de las dos expresiones $$ -\frac{5}{3}x + 2 $$ y $$ -3 $$.

the solution to each systen \( \left\{y \geq-\frac{5}{3} x+2 y \geq-3\right. \)

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