3.6.2 Lösen von Exponentialgleichungen Es gibt Algen, die ihre Höhe jede Woche verdoppeln können. Wie viele Wochen dauert es, bis eine 60 cm große Alge an die Oberfläche des \( 6,30 \mathrm{~m} \) tiefen Sees gelangt?

Die Alge hat anfangs eine Höhe von \( 60 \, \text{cm} \) und verdoppelt ihre Höhe jede Woche. Nach \( n \) Wochen beträgt ihre Höhe \[ 60 \cdot 2^n \, \text{cm}. \] Damit die Alge die Oberfläche des \( 6,30 \, \text{m} \) tiefen Sees erreicht, muss die Höhe mindestens \( 630 \, \text{cm} \) betragen (da \( 6,30 \, \text{m} = 630 \, \text{cm} \)). Daraus folgt die Gleichung \[ 60 \cdot 2^n = 630. \] Wir lösen zunächst die Gleichung: 1. Beide Seiten durch \( 60 \) teilen: \[ 2^n = \frac{630}{60} = 10,5. \] 2. Um \( n \) zu bestimmen, verwenden wir den Logarithmus: \[ n = \log_2(10,5) = \frac{\ln(10,5)}{\ln(2)}. \] Berechnen wir den Wert: \[ \ln(10,5) \approx 2,3514 \quad \text{und} \quad \ln(2) \approx 0,6931, \] sodass \[ n \approx \frac{2,3514}{0,6931} \approx 3,39. \] Da die Alge ihre Höhe nur am Ende jeder Woche verdoppelt, muss \( n \) eine ganze Zahl sein. Nach 3 Wochen ist die Höhe: \[ 60 \cdot 2^3 = 60 \cdot 8 = 480 \, \text{cm} < 630 \, \text{cm}, \] und nach 4 Wochen: \[ 60 \cdot 2^4 = 60 \cdot 16 = 960 \, \text{cm} \ge 630 \, \text{cm}. \] Damit erreicht die Alge erst nach 4 Wochen die Oberfläche des Sees.