Exercice 4 Soit \( g \) une fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x)=a x^{2}+b x+5 \) où \( a \) et \( b \) sont des réels. On note \( \mathscr{C}_{g} \) sa courbe représentative dans un repère du plan. On sait que \( \mathscr{C}_{g} \) passe par le point \( A(6 ;-1) \) et que sa tangente en \( A \) a pour pente 2 . 1. Justifier que les nombres \( a \) et \( b \) sont solutions du système \( \left\{\begin{array}{cc}6 a+b=-1 \\ 12 a+b= & 2\end{array}\right. \) 2. Déterminer l'expression de la fonction \( g \).

Pour résoudre ce problème, commençons par examiner les informations données. La fonction \( g(x) = ax^2 + bx + 5 \) passe par le point \( A(6, -1) \). Cela signifie que si nous substituons \( x = 6 \) dans \( g(x) \), nous devons obtenir \( -1 \). Donc : \[ g(6) = a(6^2) + b(6) + 5 = -1 \] \[ 36a + 6b + 5 = -1 \] Cela nous donne la première équation du système, soit : \[ 6a + b = -1 \quad \text{(1)} \] Ensuite, nous savons que la pente de la tangente à la courbe en \( A \) est donnée par la dérivée de \( g \) en \( x = 6 \). La dérivée de \( g \) est : \[ g'(x) = 2ax + b \] En substituant \( x = 6 \), nous avons : \[ g'(6) = 12a + b \] Comme la pente est 2, cela nous donne la seconde équation du système : \[ 12a + b = 2 \quad \text{(2)} \] Maintenant, nous avons le système d'équations : \[ \begin{cases} 6a + b = -1 \\ 12a + b = 2 \end{cases} \] Pour résoudre ce système, soustrayons la première équation de la seconde : \[ (12a + b) - (6a + b) = 2 - (-1) \] \[ 6a = 3 \] \[ a = \frac{1}{2} \] En substituant \( a = \frac{1}{2} \) dans la première équation : \[ 6 \left(\frac{1}{2}\right) + b = -1 \] \[ 3 + b = -1 \] \[ b = -4 \] Finalement, les valeurs de \( a \) et \( b \) sont \( a = \frac{1}{2} \) et \( b = -4 \). 2. Pour déterminer l'expression de la fonction \( g \), remplaçons \( a \) et \( b \) dans l'équation de la fonction : \[ g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 5 \] Ceci est l'expression de \( g \). Nous pouvons réécrire la fonction de manière simplifiée : \[ g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 5 \] Voilà ! \( g(x) \) est bien définie, et tous les critères du problème sont satisfaits.