\begin{tabular}{l} 10. Ett sommarhus köptes 2007 för 1,2 miljoner kronor. Ett antal år senare såldes huset för \\ 2,7 miljoner kronor. Prisökningen kan antas ha varit exponentiell enligt \( y=C \cdot a^{x} \). \\ Den genomsnittliga årliga procentuella ökningen var \( 7,0 \% \). \\ Bestäm det år som huset såldes. \\ \hline\end{tabular}

För att bestämma vilket år som huset såldes, kan vi använda formeln för exponentiell tillväxt som ges av \( y = C \cdot a^{x} \). Här är \( C \) det ursprungliga priset (1,2 miljoner kronor), \( y \) är det nya priset (2,7 miljoner kronor), och \( a \) är den årliga tillväxtfaktorn. För att hitta \( a \) från den procentuella ökningen på 7,0% kan vi använda formeln \( a = 1 + r \), där \( r = 0,07 \). Det ger \( a = 1,07 \). Vi kan nu sätta upp ekvationen för att lösa för \( x \) (antalet år som har gått). Vi har: \[ 2,7 = 1,2 \cdot (1,07)^{x} \] För att lösa för \( x \) delar vi båda sidor med 1,2: \[ \frac{2,7}{1,2} = (1,07)^{x} \] \[ 2,25 = (1,07)^{x} \] Vi tar logaritmen av båda sidor för att lösa för \( x \): \[ \log(2,25) = x \cdot \log(1,07) \] \[ x = \frac{\log(2,25)}{\log(1,07)} \] Beräkna \( x \): \[ x \approx \frac{0,3522}{0,0291} \approx 12,09 \] Det tar alltså ungefär 12 år att nå det priset. Om huset köptes 2007, kan vi addera de 12 åren: \[ 2007 + 12 \approx 2019 \] Så huset såldes omkring 2019.