\( \left. \begin{array} { l } { = \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 3 } { a ^ { 2 } + u ^ { 2 } } d u } \\ { } \\ { 3 \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 1 } { a ^ { 2 } + u ^ { 2 } } d u } \\ { = 3 ( 1 ) \tan ^ { - 1 } ( \sin x ) + c | _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } } \\ { = } \\ { = 3 \tan ^ { - 1 } ( \sin ( \frac { \pi } { 2 } ) ) - [ \tan ^ { - 1 } ( 0.5 ) - [ 3 \tan ^ { - 1 } ( \sin ( - \frac { \pi } { 2 } ) ] } \\ { = } \\ { = 3 ( 0.5 ) - 3.5 ) ] } \\ { = \frac { 3 } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } } \\ { = 3 } \end{array} \right. \)

A continuación comentaré el problema y señalaré algunos de los errores que se aprecian en la “demostración” presentada. Se parte de la siguiente integral:   I = ∫₋(π/2)^(π/2) [3⁄(a² + u²)] du y se “extrae” el 3 para escribir   I = 3 · ∫₋(π/2)^(π/2) [1⁄(a² + u²)] du. Observa que, de forma correcta, la antiderivada de 1⁄(a² + u²) es   ∫ du⁄(a² + u²) = (1/a) · tan⁻¹(u/a) + C. Sin embargo, en el desarrollo que se muestra se utiliza una expresión relacionada con tan⁻¹(sin x); es decir, se escribe   3 (1) · tan⁻¹(sin x) + C evaluado entre –π/2 y π/2, lo cual no es correcto. En ningún momento aparece la variable “a” en el antiderivado ni se realiza la sustitución habitual u → u/a. Además, al evaluar los límites se tienen expresiones tales como tan⁻¹(sin(π/2)) y tan⁻¹(sin(–π/2)). Recordemos que:   sin(π/2) = 1  y  sin(–π/2) = –1, y por tanto   tan⁻¹(1) = π/4  y  tan⁻¹(–1) = –π/4. Si se hubiese utilizado correctamente la antiderivada (suponiendo eventualmente a = 1), se obtendría:   I = 3 · [tan⁻¹(u)]|₋(π/2)^(π/2) = 3 · [tan⁻¹(π/2) – tan⁻¹(–π/2)]       = 3 · [tan⁻¹(π/2) + tan⁻¹(π/2)]       = 6 · tan⁻¹(π/2). Este resultado, en general, no se simplifica a 3. En resumen, los principales errores en la “demostración” son: 1. Uso incorrecto de la antiderivada. En vez de (1/a)·tan⁻¹(u/a), se emplea tan⁻¹(sin x) sin justificar tal cambio. 2. La sustitución de los límites se realiza de forma confusa, mezclando variables (u y x) y utilizando valores como tan⁻¹(0.5) que no se deducen de la integral original. 3. La conclusión final “= 3” no sigue de manera rigurosa los pasos de integración y evaluación. Para solucionar el problema correctamente habría que: (a) Partir de I = 3 · ∫₋(π/2)^(π/2) [du⁄(a² + u²)]. (b) Utilizar la antiderivada correcta:   ∫ du⁄(a² + u²) = (1/a) tan⁻¹(u/a) + C. (c) Evaluar en los límites u = π/2 y u = –π/2:   I = (3/a) [tan⁻¹((π/2)/a) – tan⁻¹(–(π/2)/a)]     = (3/a) [tan⁻¹((π/2)/a) + tan⁻¹((π/2)/a)]     = (6/a) tan⁻¹((π/2)/a). (d) El resultado dependerá del valor de a; sólo en un caso particular (o en algún límite) se podría llegar a I = 3, pero no de forma general. Por lo tanto, la “demostración” tal como se presentó contiene imprecisiones y errores que impiden llegar lógicamente a la conclusión de que la integral vale 3. Es importante seguir cuidadosamente la fórmula para la integral de 1⁄(a²+u²) y emplear correctamente las variables y límites de integración.