Aplica el teorema de Green para resolver la integral de linea: \( \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\oint_{C}\left(x^{2} d x+x y d y\right) \) Donde \( \mathbf{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))=\left(x^{2}, x y\right) \) y C es el rectángulo con límites en \( x \) de 0 a 3 y en \( y \) de 0 a 2 .

Para aplicar el teorema de Green, primero debemos identificar las funciones \( P(x, y) \) y \( Q(x, y) \) de la integral de línea. En este caso, \( P(x, y) = x^2 \) y \( Q(x, y) = xy \). Luego, el teorema de Green nos permite convertir la integral de línea en una integral doble sobre la región \( R \) encerrada por la curva \( C \). Así, la integral se puede expresar como: \[ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = \iint_{R} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] Calculamos las derivadas parciales: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x^2)}{\partial y} = 0 \] Por lo tanto, \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y - 0 = y \] La región \( R \) es un rectángulo con límites \( x \) de 0 a 3 y \( y \) de 0 a 2. Entonces, podemos expresar la integral doble: \[ \iint_{R} y \, dA = \int_0^3 \int_0^2 y \, dy \, dx \] Calculamos primero la integral interna: \[ \int_0^2 y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - 0 = 2 \] Ahora sustituimos en la integral externa: \[ \int_0^3 2 \, dx = 2 \cdot [x]_0^3 = 2(3 - 0) = 6 \] Por lo tanto, por el teorema de Green, la integral de línea que queríamos calcular es: \[ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = 6 \]