1. Evaluar la integral dada realizando la sustitución adecuada. $$ \int_{0}^{2} \frac{\sec ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} d x $$ Resultados de Anrendizaie, Utiliza un cambio de variable para determinar la integral de una función

Question

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Consideramos la integral
$$
\int_{0}^{2} \frac{\sec^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\,dx.
$$
Para evaluarla, usaremos el cambio de variable
$$
u=\frac{1}{x}.
$$
Procedemos paso a paso.

1. **Cambio de variable y diferencial**

Sea
   $$
   u=\frac{1}{x} \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{1}{u}.
   $$
   Derivando respecto a $$x$$,
   $$
   \frac{du}{dx}=-\frac{1}{x^{2}} \quad \Longrightarrow \quad dx=-x^{2}\,du.
   $$
   Como $$x=\frac{1}{u}$$, se tiene
   $$
   x^{2}=\frac{1}{u^{2}}\quad \text{y}\quad dx=-\frac{1}{u^{2}}\,du.
   $$

2. **Transformación de la integral**

Sustituimos en la integral:
   $$
   \frac{\sec^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\,dx=\sec^{2}(u)\,\frac{1}{x^{2}}dx.
   $$
   Como $$x^{2}=\frac{1}{u^{2}}$$,
   $$
   \frac{1}{x^{2}}dx = \frac{1}{\frac{1}{u^{2}}}\,dx = u^{2}\,dx.
   $$
   Usando $$dx=-\frac{1}{u^{2}}du$$, se obtiene:
   $$
   u^{2}\,dx = u^{2}\left(-\frac{1}{u^{2}}\,du\right) = -du.
   $$
   Por lo tanto, la integral se transforma en:
   $$
   \int_{x=0}^{x=2} \frac{\sec^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\,dx = -\int_{u=u(0)}^{u(2)} \sec^{2}(u)\,du.
   $$

3. **Cambio en los límites de integración**

- Cuando $$x=2$$, se tiene:
     $$
     u=\frac{1}{2}.
     $$
   - Cuando $$x\to 0^{+}$$, se tiene:
     $$
     u=\frac{1}{x}\to +\infty.
     $$
     
   Con estos límites, la integral se escribe como
   $$
   -\int_{u=+\infty}^{u=\frac{1}{2}} \sec^{2}(u)\,du.
   $$
   Invertimos los límites y cambiamos el signo:
   $$
   \int_{u=\frac{1}{2}}^{u=+\infty} \sec^{2}(u)\,du.
   $$

4. **Evaluación de la integral en $$u$$**

La antiderivada de $$\sec^{2}(u)$$ es
   $$
   \int \sec^{2}(u)\,du=\tan(u)+C.
   $$
   Así, la integral evaluada entre $$u=\frac{1}{2}$$ y $$u=R$$ (donde $$R\to+\infty$$) es:
   $$
   \int_{\frac{1}{2}}^{R} \sec^{2}(u)\,du=\tan (R)-\tan\left(\frac{1}{2}\right).
   $$

5. **Comportamiento cuando $$R\to+\infty$$ y conclusión**

Al dejar $$R\to+\infty$$, observamos que la función $$\tan(u)$$ es periódica y tiene asíntotas verticales, por lo que no existe un límite definido cuando $$u\to+\infty$$. En efecto, existen valores de $$u$$ (por ejemplo, $$u=\frac{\pi}{2}$$) donde $$\tan(u)$$ tiende a $$+\infty$$ o $$-\infty$$. Por ello, la integral impropia
   $$
   \int_{\frac{1}{2}}^{+\infty} \sec^{2}(u)\,du
   $$
   no converge.

En conclusión,
$$
\int_{0}^{2} \frac{\sec^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\,dx
$$
es divergente.
La integral $$\int_{0}^{2} \frac{\sec^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}\,dx$$ no converge; es decir, no tiene un valor finito.

Evaluar la integral dada realizando la sustitución adecuada.

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