a) \( |x-1|=2 x-1 \)

a) \( |x-1|=2x-1 \) Para resolver esta desigualdad, primero consideramos que el valor absoluto de una expresión es igual a una cantidad positiva si y solo si la expresión puede ser igual a esa cantidad positiva o a su negativo. Por lo tanto, podemos descomponer la desigualdad en dos casos: 1. \( x - 1 = 2x - 1 \) 2. \( x - 1 = -(2x - 1) \) Resolvamos cada caso: 1. \( x - 1 = 2x - 1 \) \[ x - 2x = -1 + 1 \\ -x = 0 \\ x = 0 \] 2. \( x - 1 = -(2x - 1) \) \[ x - 1 = -2x + 1 \\ x + 2x = 1 + 1 \\ 3x = 2 \\ x = \frac{2}{3} \] Ahora, verificamos estos valores en la desigualdad original: Para \( x = 0 \): \[ |x - 1| = |0 - 1| = |-1| = 1 \\ 2x - 1 = 2(0) - 1 = -1 \] Por lo tanto, \( |x - 1| = 2x - 1 \) es verdadero para \( x = 0 \). Para \( x = \frac{2}{3} \): \[ |x - 1| = \left|\frac{2}{3} - 1\right| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \\ 2x - 1 = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \] Por lo tanto, \( |x - 1| = 2x - 1 \) es verdadero para \( x = \frac{2}{3} \). Ambos valores, \( x = 0 \) y \( x = \frac{2}{3} \), satisfacen la desigualdad original. Por lo tanto, la solución es \( x = 0 \) y \( x = \frac{2}{3} \).