24. Halle la curvatura de \( \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, t\right\rangle \) en el punto \( (1,0,0) \).

Sea la curva \[ \mathbf{r}(t)=\langle e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\; t\rangle. \] Se requiere hallar la curvatura \(\kappa\) en el punto \((1,0,0)\). ### Paso 1. Determinar \(t\) correspondiente al punto La tercera componente de \(\mathbf{r}(t)\) es \(t\). Para que \[ \mathbf{r}(t)=(1,0,0) \] se debe tener \[ t=0. \] Verificamos las otras componentes en \(t=0\): \[ x(0)=e^{0}\cos 0=1\quad\text{y}\quad y(0)=e^{0}\sin 0=0. \] Por lo tanto, el punto \((1,0,0)\) corresponde a \(t=0\). ### Paso 2. Calcular \(\mathbf{r}'(t)\) y \(\mathbf{r}''(t)\) Se tienen las componentes: \[ x(t)=e^{t}\cos t,\quad y(t)=e^{t}\sin t,\quad z(t)=t. \] **Derivada primera:** Calculamos \[ x'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos t\big)= e^{t}\cos t - e^{t}\sin t= e^{t}(\cos t - \sin t), \] \[ y'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\sin t\big)= e^{t}\sin t + e^{t}\cos t= e^{t}(\sin t + \cos t), \] \[ z'(t)=1. \] Por lo tanto, \[ \mathbf{r}'(t)=\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\; e^{t}(\sin t+\cos t),\; 1\rangle. \] **Derivada segunda:** Calculamos cada componente: Para \(x''(t)\): \[ x''(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}(\cos t-\sin t)\big)= e^{t}(\cos t-\sin t) + e^{t}(-\sin t-\cos t)= -2e^{t}\sin t. \] Para \(y''(t)\): \[ y''(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}(\sin t+\cos t)\big)= e^{t}(\sin t+\cos t) + e^{t}(\cos t-\sin t)= 2e^{t}\cos t. \] Para \(z''(t)\): \[ z''(t)=0. \] Por lo tanto, \[ \mathbf{r}''(t)=\langle -2e^{t}\sin t,\; 2e^{t}\cos t,\; 0 \rangle. \] ### Paso 3. Calcular el producto cruzado \(\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\) Sea \[ \mathbf{r}'(t)=\langle A,\, B,\, 1\rangle \quad\text{con}\quad A= e^{t}(\cos t-\sin t),\quad B=e^{t}(\sin t+\cos t), \] y \[ \mathbf{r}''(t)=\langle C,\, D,\, 0\rangle \quad\text{con}\quad C=-2e^{t}\sin t,\quad D= 2e^{t}\cos t. \] El producto cruzado es: \[ \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)= \langle B\cdot 0 - 1\cdot D,\; 1\cdot C - A\cdot 0,\; A\cdot D - B\cdot C \rangle. \] Esto resulta en: \[ \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)= \langle -D,\; C,\; A D - B C \rangle. \] Sustituyendo \(C\) y \(D\): \[ \text{Primer componente: } -D=-2e^{t}\cos t. \] \[ \text{Segunda componente: } C=-2e^{t}\sin t. \] Para la tercera componente: \[ A\cdot D - B\cdot C= e^{t}(\cos t-\sin t)\cdot (2e^{t}\cos t) - e^{t}(\sin t+\cos t)\cdot (-2e^{t}\sin t). \] Simplificando: \[ = 2e^{2t}\big[\cos t(\cos t-\sin t) + \sin t(\sin t+\cos t) \big]. \] Observamos que: \[ \cos t(\cos t-\sin t) + \sin t(\sin t+\cos t)= \cos^{2}t - \cos t\sin t+ \sin^{2}t+ \sin t\cos t = \cos^{2}t+ \sin^{2}t= 1. \] Por lo tanto, la tercera componente es: \[ 2e^{2t}. \] Así, \[ \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)=\langle -2e^{t}\cos t,\; -2e^{t}\sin t,\; 2e^{2t} \rangle. \] ### Paso 4. Calcular la norma de \(\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\) La norma es: \[ \|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\| = \sqrt{(-2e^{t}\cos t)^2 + (-2e^{t}\sin t)^2 + (2e^{2t})^2}. \] Calculamos cada término: \[ (-2e^{t}\cos t)^2= 4e^{2t}\cos^{2}t,\quad (-2e^{t}\sin t)^2= 4e^{2t}\sin^{2}t,\quad (2e^{2t})^2= 4e^{4t}. \] Entonces: \[ \|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\| = \sqrt{4e^{2t}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)+ 4e^{4t}} = \sqrt{4e^{2t}+ 4e^{4t}}. \] Factorizando: \[ = 2\sqrt{e^{2t}+ e^{4t}}= 2e^{t}\sqrt{1+ e^{2t}}. \] ### Paso 5. Calcular la norma de \(\mathbf{r}'(t)\) Con \(\mathbf{r}'(t)=\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\; e^{t}(\sin t+\cos t),\; 1 \rangle\), se tiene: \[ \|\mathbf{r}'(t)\|^2 = \big[e^{t}(\cos t-\sin t)\big]^2 + \big[e^{t}(\sin t+\cos t)\big]^2 + 1^2. \] Calculemos los dos primeros términos: \[ (\cos t-\sin t)^2 = \cos^{2}t - 2\sin t\cos t + \sin^{2}t, \] \[ (\sin t+\cos t)^2 = \sin^{2}t + 2\sin t\cos t + \cos^{2}t. \] La suma es: \[ (\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2 = 2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)= 2. \] Por lo tanto: \[ \|\mathbf{r}'(t)\|^2 = 2e^{2t}+ 1 \quad\Longrightarrow\quad \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{2e^{2t}+ 1}. \] ### Paso 6. Aplicar la fórmula de la curvatura La curvatura viene dada por: \[ \kappa(t)= \frac{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3}. \] Sustituimos los resultados obtenidos: \[ \kappa(t)= \frac{2e^{t}\sqrt{1+ e^{2t}}}{\big( \sqrt{2e^{2t}+ 1} \big)^3} = \frac{2e^{t}\sqrt{1+ e^{2t}}}{\big(2e^{2t}+ 1\big)^{3/2}}. \] ### Paso 7. Evaluar la curvatura en \(t=0\) Sustituyendo \(t=0\), se tiene: \[ e^{0}=1,\quad e^{2\cdot0}=1. \] Entonces: \[ \kappa(0)= \frac{2\cdot1\cdot\sqrt{1+1}}{\big(2\cdot1+ 1\big)^{3/2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3^{3/2}}. \] Observando que \(3^{3/2}= 3\sqrt{3}\), se obtiene: \[ \kappa(0)= \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}. \] ### Respuesta Final La curvatura de \(\mathbf{r}(t)\) en el punto \((1,0,0)\) es: \[ \boxed{\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}}. \]