\( f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+3 \text { si } x \geq 5 \\ 2-x \text { si } x<5\end{array}\right. \)

1. Se requiere que la función \( f(x) \) sea continua en \( x=5 \). Esto implica que el límite por la izquierda y el valor de la función cuando \( x \geq 5 \) deben ser iguales en \( x=5 \). 2. Para \( x<5 \), la función está definida por: \[ f(x) = 2 - x \] Entonces, el límite cuando \( x \to 5^- \) es: \[ \lim_{x \to 5^-} f(x) = 2 - 5 = -3. \] 3. Para \( x \geq 5 \), la función está definida por: \[ f(x) = kx + 3. \] En particular, en \( x=5 \) se tiene: \[ f(5) = k \cdot 5 + 3. \] 4. Para que \( f(x) \) sea continua en \( x=5 \) se debe cumplir que: \[ f(5) = \lim_{x \to 5^-} f(x). \] Es decir: \[ k \cdot 5 + 3 = -3. \] 5. Resolviendo la ecuación: \[ 5k + 3 = -3 \quad \Rightarrow \quad 5k = -3 - 3 = -6 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{-6}{5}. \] 6. Por lo tanto, el valor de \( k \) que garantiza la continuidad de \( f(x) \) es: \[ k = -\frac{6}{5}. \]