уравнения: \( \log _{3}(x-5)^{2}=\log _{3}(12 x-80) \)

Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(x\): \(\log_{3}{\left(\left(x-5\right)^{2}\right)}=\log_{3}{\left(12x-80\right)}\) - step1: Find the domain: \(\log_{3}{\left(\left(x-5\right)^{2}\right)}=\log_{3}{\left(12x-80\right)},x>\frac{20}{3}\) - step2: Set the arguments equal: \(\left(x-5\right)^{2}=12x-80\) - step3: Move the expression to the left side: \(\left(x-5\right)^{2}-\left(12x-80\right)=0\) - step4: Remove the parentheses: \(\left(x-5\right)^{2}-12x+80=0\) - step5: Calculate: \(x^{2}-22x+105=0\) - step6: Factor the expression: \(\left(x-15\right)\left(x-7\right)=0\) - step7: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x-15=0\\&x-7=0\end{align}\) - step8: Solve the equation: \(\begin{align}&x=15\\&x=7\end{align}\) - step9: Check if the solution is in the defined range: \(\begin{align}&x=15\\&x=7\end{align},x>\frac{20}{3}\) - step10: Find the intersection: \(\begin{align}&x=15\\&x=7\end{align}\) - step11: Rewrite: \(x_{1}=7,x_{2}=15\) Решим уравнение \( \log _{3}(x-5)^{2}=\log _{3}(12 x-80) \). 1. Поскольку логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы: \[ (x-5)^{2} = 12x - 80 \] 2. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ x^{2} - 10x + 25 = 12x - 80 \] 3. Переносим все члены в одну сторону: \[ x^{2} - 10x - 12x + 25 + 80 = 0 \] \[ x^{2} - 22x + 105 = 0 \] 4. Теперь решим квадратное уравнение \( x^{2} - 22x + 105 = 0 \) с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -22, c = 105 \). 5. Подставим значения: \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 105}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 420}}{2} \] \[ x = \frac{22 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{22 \pm 8}{2} \] 6. Находим два корня: \[ x_{1} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_{2} = \frac{14}{2} = 7 \] Таким образом, решения уравнения: \[ x_{1} = 15, \quad x_{2} = 7 \]