CUCEI 14 de marzo de 2025 Sjercicio 4. Dada la ectuación \( \frac{1}{2} \sin (x)-x+1=0 \) (a) (5 puntos.) Verifica que existe una solución en el intervalo (1,2). (10 puntos.) Aplica el método de la regla falsa para aproximar la solución de la ecuaciósa, realiaa las iteraciones necesarias para que se cumpla \( \left|f\left(p_{i}\right)\right| \leq 10^{-3} \).

Para verificar que existe una solución en el intervalo (1,2), se evalúa la función \( f(x) = \frac{1}{2} \sin(x) - x + 1 \) en los extremos del intervalo. Al calcular \( f(1) \) y \( f(2) \), obtenemos \( f(1) = \frac{1}{2} \sin(1) - 1 + 1 \approx 0.5 - 1 + 1 = 0.5 \) y \( f(2) = \frac{1}{2} \sin(2) - 2 + 1 \approx 0.454 - 2 + 1 \approx -0.546 \). Dado que \( f(1) > 0 \) y \( f(2) < 0 \), existe al menos una raíz en el intervalo (1,2) por el teorema de Bolzano. Para aplicar el método de la regla falsa, se comienza seleccionando los extremos \( a = 1 \) y \( b = 2 \). Calculamos \( f(a) \) y \( f(b) \), y luego encontramos \( p_0 = b - \frac{f(b)(a-b)}{f(a)-f(b)} \). Iterando, actualizamos el valor de \( p_i \) en cada paso y verificamos las condiciones hasta que \( |f(p_i)| \leq 10^{-3} \). Normalmente, se realizarían varias iteraciones, y cada generación de \( p_i \) se acerca a la solución deseada.