2. Determine, caso existam, todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares: a) \( 48 x+7 y=5 \) b) \( 45 x+66 y=3 \)

Para resolver as equações diofantinas lineares, precisamos encontrar todas as soluções inteiras para as equações dadas. Vamos resolver cada uma delas passo a passo. ### a) \( 48x + 7y = 5 \) 1. **Verificar se existe solução**: Para que a equação \( ax + by = c \) tenha soluções inteiras, o máximo divisor comum (MDC) de \( a \) e \( b \) deve dividir \( c \). Vamos calcular o MDC de \( 48 \) e \( 7 \). 2. **Cálculo do MDC**: - \( \text{MDC}(48, 7) = 1 \) - Como \( 1 \) divide \( 5 \), existe uma solução inteira. 3. **Encontrar uma solução particular**: Usamos o algoritmo de Euclides para encontrar uma solução particular. Vamos resolver a equação \( 48x + 7y = 1 \) e depois multiplicar a solução por \( 5 \). 4. **Aplicando o algoritmo de Euclides**: - \( 48 = 6 \times 7 + 6 \) - \( 7 = 1 \times 6 + 1 \) - \( 6 = 6 \times 1 + 0 \) Agora, retrocedemos: - \( 1 = 7 - 1 \times 6 \) - \( 6 = 48 - 6 \times 7 \) Substituindo: - \( 1 = 7 - 1 \times (48 - 6 \times 7) = 7 - 48 + 6 \times 7 = 7 \times 7 - 48 \) Portanto, uma solução particular para \( 48x + 7y = 1 \) é \( (x_0, y_0) = (-1, 7) \). 5. **Multiplicando pela constante**: - Para a equação \( 48x + 7y = 5 \), multiplicamos a solução por \( 5 \): - \( x = -5 \) e \( y = 35 \) é uma solução particular. 6. **Solução geral**: A solução geral da equação é dada por: \[ x = -5 + 7k \] \[ y = 35 - 48k \] onde \( k \) é um inteiro. ### b) \( 45x + 66y = 3 \) 1. **Verificar se existe solução**: Calculamos o MDC de \( 45 \) e \( 66 \). 2. **Cálculo do MDC**: - \( \text{MDC}(45, 66) = 3 \) - Como \( 3 \) divide \( 3 \), existe uma solução inteira. 3. **Encontrar uma solução particular**: Vamos resolver a equação \( 45x + 66y = 1 \) e depois multiplicar a solução por \( 3 \). 4. **Aplicando o algoritmo de Euclides**: - \( 66 = 1 \times 45 + 21 \) - \( 45 = 2 \times 21 + 3 \) - \( 21 = 7 \times 3 + 0 \) Agora, retrocedemos: - \( 3 = 45 - 2 \times 21 \) - \( 21 = 66 - 1 \times 45 \) Substituindo: - \( 3 = 45 - 2 \times (66 - 1 \times 45) = 3 \times 45 - 2 \times 66 \) Portanto, uma solução particular para \( 45x + 66y = 1 \) é \( (x_0, y_0) = (3, -2) \). 5. **Multiplicando pela constante**: - Para a equação \( 45x + 66y = 3 \), multiplicamos a solução por \( 3 \): - \( x = 9 \) e \( y = -6 \) é uma solução particular. 6. **Solução geral**: A solução geral da equação é dada por: \[ x = 9 + 22k \] \[ y = -6 - 15k \] onde \( k \) é um inteiro. ### Resumo das soluções: - Para a equação \( 48x + 7y = 5 \): \[ x = -5 + 7k, \quad y = 35 - 48k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] - Para a equação \( 45x + 66y = 3 \): \[ x = 9 + 22k, \quad y = -6 - 15k \quad (k \in \mathbb{Z}) \]