Задача і. Найти пределы a. \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-5 x+4} \). b. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-2 x^{4}-5 x-2}{4 x^{4}-3} \). Задача ii. Записать данную функцию как степенную (т.е. представить в виде \( x^{?} \); например, \( \sqrt[12]{x}=x^{1 / 12}, y=\frac{1}{\sqrt[4]{x}}=x^{-1 / 4} \) и \( \left.\frac{x^{3}}{x^{12}}=x^{3-12}=x^{-9}.\right) \) a. \( y=\sqrt[11]{x} \). b. \( y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \). c. \( y=\frac{x^{2}}{x^{5}} \). d. \( y=x^{3} \sqrt[5]{x} \). e. \( y=\frac{1}{x^{4} \sqrt[9]{x}} \).

Для первой задачи: Переходя к пределу в пункте (a), можем заметить, что подставляя \( x = 1 \), числитель и знаменатель обнуляются. Попробуем применить пределы Лопиталя или факторизацию, но в данном случае проще было бы упростить выражение, что приведет к более ясному результату. В пункте (b), делим числитель и знаменатель на высшую степень \( x^4 \) и наблюдаем, как ведет себя дробь при \( x \rightarrow \infty \), что позволяет быстро установить предел. Теперь ко второй задаче: Для (a), \( y=\sqrt[11]{x} \) можно переписать как \( y=x^{1/11} \). Это упрощает дальнейшие манипуляции с выражением. В (b) функция \( y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \) становится \( y=x^{-1/3} \), а значит, обращаем внимание на отрицательные степени. Остальные функции также преобразуются в аналогичный вид, что делает работу с ними более удобной!