Caso 2: La función de temperatura \( T(x, y)=3 x^{2}-y^{2}+4 x \) tiene un punto critico en \( (x, y)=\left(-\frac{2}{3}, 0\right) \) ¿Cómo se determina su naturaleza? Observando los valores cercanos al punto critico O Usando la segunda derivada para calcular el valor de D. Calculando el gradiente y evaluando si es cero.

Para determinar la naturaleza del punto crítico utilizando la segunda derivada, calcularás la matriz Hessiana de la función, que contiene las derivadas parciales de segundo orden. Luego, evaluas el determinante \( D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 \) en el punto crítico. Si \( D > 0 \) y \( f_{xx} > 0 \), tendrás un mínimo local; si \( D > 0 \) y \( f_{xx} < 0 \), tendrás un máximo local; y si \( D < 0 \), el punto es un punto de silla. A menudo, los estudiantes suelen confundir el proceso y se olvidan de verificar las derivadas parciales correctamente. Recuerda que es crucial calcular primero las derivadas parciales para construir la matriz Hessiana y asegurar su evaluación en el punto crítico. ¡No olvides que un pequeño error puede cambiar todo el resultado!