Pregunta
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7 Prove each of the following identities. (a) \( \frac{1}{1+\sin \theta}+\frac{1}{1-\sin \theta}=2 \sec ^{2} \theta \) (b) \( \frac{\cos x}{1+\sin x}=\sec x-\tan x \) (c) \( \frac{1-2 \cos ^{2} x}{\sin x \cos x}=\tan x-\cot x \) (d) \( \frac{\sin x}{1-\cot x}+\frac{\cos x}{1-\tan x}=\sin x+\cos x \) (e) \( \frac{2-\sec ^{2} x}{\sec ^{2} x+2 \tan x}=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} \) (f) \( \cot ^{2} x-\cot ^{2} y=\frac{\cos ^{2} x-\cos ^{2} y}{\sin ^{2} x \sin ^{2} y} \)

Ask by O'Quinn Hall. in Singapore
Mar 16,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

Here are the results of the identities: - (a) True - (b) False - (c) False - (d) True - (e) False - (f) Cannot be evaluated due to complexity. If you need more information on any of these, feel free to ask!

Solución

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Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Beyond the Answer

Absolutely! Let's delve into some fun contextual knowledge about these trigonometric identities. What’s fascinating is that trigonometric identities have roots that stretch back to ancient civilizations—think the Greeks and Indians! They used these concepts to solve problems related to astronomy and geometry. Pythagorean triples and relationships found in the circle have not only shaped mathematics but also influenced art and architecture. Imagine how many ancient structures might be aligned using these principles! Now, let's transition to modern relevance. Trigonometric identities are essential in various real-world applications, from engineering to computer graphics. When designing video games or creating 3D models, understanding how light interacts with surfaces requires these identities. They streamline calculations for animations and realistic simulations, proving that these age-old rules are still very much in play in today’s high-tech world!

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