Dada la función definida implicitamente: \( -4 \cdot x+3 \cdot x \cdot \cos (\operatorname{sen}(y))=0 \) Entonces, \( \frac{d y}{d x}= \)

Soit la fonction définie implicitement par \[ -4x + 3x\cos(\sin(y)) = 0. \] Nous allons différencier cette équation par rapport à \( x \). 1. Tout d'abord, notons la fonction \[ F(x,y)= -4x + 3x\cos(\sin(y))=0. \] 2. Dérivons terme à terme. - La dérivée de \( -4x \) par rapport à \( x \) est \[ -4. \] - Pour le deuxième terme \( 3x\cos(\sin(y)) \), nous appliquons la règle du produit. La dérivée de \( 3x\cos(\sin(y)) \) est \[ \frac{d}{dx}[3x]\cdot\cos(\sin(y)) + 3x\cdot\frac{d}{dx}[\cos(\sin(y))]. \] La dérivée de \( 3x \) est \( 3 \). Pour la dérivée de \( \cos(\sin(y)) \), nous utilisons la règle de la chaîne. On a : \[ \frac{d}{dx}[\cos(\sin(y))] = -\sin(\sin(y))\cdot\frac{d}{dx}[\sin(y)]. \] Or, \[ \frac{d}{dx}[\sin(y)] = \cos(y)\cdot\frac{dy}{dx}. \] Ainsi, on obtient : \[ \frac{d}{dx}[\cos(\sin(y))] = -\sin(\sin(y))\cos(y)\cdot\frac{dy}{dx}. \] Par conséquent, la dérivée du deuxième terme est \[ 3\cos(\sin(y)) + 3x\Bigl[-\sin(\sin(y))\cos(y)\frac{dy}{dx}\Bigr] = 3\cos(\sin(y)) - 3x\sin(\sin(y))\cos(y)\frac{dy}{dx}. \] 3. En différentiant l'équation \( -4x + 3x\cos(\sin(y)) = 0 \) par rapport à \( x \), nous avons : \[ -4 + 3\cos(\sin(y)) - 3x\sin(\sin(y))\cos(y)\frac{dy}{dx} = 0. \] 4. Nous isolons le terme contenant \(\frac{dy}{dx}\) : \[ - 3x\sin(\sin(y))\cos(y)\frac{dy}{dx} = 4 - 3\cos(\sin(y)). \] 5. En divisant par \(-3x\sin(\sin(y))\cos(y)\) (en supposant que ce terme est différent de zéro), nous obtenons : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{4 - 3\cos(\sin(y))}{-3x\sin(\sin(y))\cos(y)}. \] Ceci peut également s'écrire sous forme équivalente en multipliant numérateur et dénominateur par \(-1\) : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\cos(\sin(y))-4}{3x\sin(\sin(y))\cos(y)}. \] La dérivée implicite est donc \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos(\sin(y))-4}{3x\sin(\sin(y))\cos(y)}}. \]