Sabendo que \( x=\left(5^{2}\right)^{3} \cdot\left(5^{3}: 5^{2}\right)^{4} e \) \( y=\left(5^{9}\right)^{2}:\left(5^{4} \cdot 5^{2}\right)^{2} \), qual é a potência de 5 que representa o valor de \( x: y \) ?

Vamos primeiro simplificar \( x \). Temos: \[ x=\left(5^{2}\right)^{3} \cdot\left(5^{3}: 5^{2}\right)^{4} \] Simplificando \( (5^{3}: 5^{2}) \): \[ 5^{3}: 5^{2} = 5^{3-2} = 5^{1} \] Assim, substituindo isso em \( x \): \[ x=\left(5^{2}\right)^{3} \cdot \left(5^{1}\right)^{4} \] \[ = 5^{6} \cdot 5^{4} = 5^{6+4} = 5^{10} \] Agora, vamos simplificar \( y \). Temos: \[ y=\left(5^{9}\right)^{2}:\left(5^{4} \cdot 5^{2}\right)^{2} \] Simplificando \( 5^{4} \cdot 5^{2} \): \[ 5^{4} \cdot 5^{2} = 5^{4+2} = 5^{6} \] \[ y=\left(5^{9}\right)^{2}:\left(5^{6}\right)^{2} \] \[ = 5^{18}: 5^{12} = 5^{18-12} = 5^{6} \] Agora que temos \( x \) e \( y \): \[ x = 5^{10} \quad \text{e} \quad y = 5^{6} \] Agora, vamos calcular \( \frac{x}{y} \): \[ \frac{x}{y} = \frac{5^{10}}{5^{6}} = 5^{10-6} = 5^{4} \] Portanto, a potência de 5 que representa o valor de \( x: y \) é \( 5^{4} \).