$$ \frac { d T } { d t } = - k ( T - 20 ) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Comenzamos con la ecuación diferencial:
   $$
   \frac{dT}{dt} = - k (T - 20)
   $$

2. Separar las variables $$T$$ y $$t$$. Dividimos ambos lados por $$T-20$$ (asumiendo $$T \neq 20$$) y multiplicamos por $$dt$$:
   $$
   \frac{dT}{T-20} = - k \, dt
   $$

3. Integramos ambos lados de la ecuación:
   $$
   \int \frac{1}{T-20} \, dT = \int - k \, dt
   $$

4. La integral del lado izquierdo es:
   $$
   \ln |T-20| + C_1
   $$
   y la del lado derecho es:
   $$
   -kt + C_2
   $$
   Donde $$C_1$$ y $$C_2$$ son constantes de integración.

5. Combinamos las constantes de integración en una sola constante $$C$$ (donde $$C = C_2 - C_1$$):
   $$
   \ln |T-20| = -kt + C
   $$

6. Para despejar $$T$$, exponenciamos ambos lados:
   $$
   |T-20| = e^{-kt + C} = e^{C} e^{-kt}
   $$
   Sea $$A = e^{C}$$, donde $$A > 0$$. Así, tenemos:
   $$
   |T-20| = A e^{-kt}
   $$

7. Como $$A$$ es una constante arbitraria positiva, podemos eliminar el valor absoluto permitiendo que $$A$$ tome valores positivos o negativos. Por lo tanto, escribimos la solución general como:
   $$
   T(t) = 20 + A e^{-kt}
   $$
   Aquí, $$A$$ es una constante arbitraria determinada por las condiciones iniciales (por ejemplo, si se conoce $$T(0)$$, entonces $$A = T(0)-20$$).
La solución de la ecuación diferencial $$ \frac{dT}{dt} = - k (T - 20) $$ es: $$ T(t) = 20 + A e^{-kt} $$ donde $$A$$ es una constante determinada por las condiciones iniciales.

\( \frac { d T } { d t } = - k ( T - 20 ) \)

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