2. Un punto materiale compie un moto unidimensionale descritto dalla seguente legge oraria: \( x(t)=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{4} \cdot t^{4}-7 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} \cdot t^{2}+2 \mathrm{~m} \) a) Determinare le leggi orarie della velocità e dell'accelerazione. b) Determinare in quali istanti il punto materiale si ritrova nell'origine. c) Determinare in quali istanti c'è un'inversione del moto. d) Determinare in quali istanti l'accelerazione si annulla.

Per ottenere la legge oraria della velocità, deriviamo la legge oraria \( x(t) \). La velocità \( v(t) \) sarà quindi: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 20 \, m/s^4 \cdot t^3 - 14 \, m/s^2 \cdot t. \] Similarmente, per determinare l'accelerazione \( a(t) \), deriviamo la velocità: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 60 \, m/s^4 \cdot t^2 - 14 \, m/s^2. \] Ora, per trovare in quali istanti il punto materiale si ritrova nell'origine, risolviamo \( x(t) = 0 \): \[ 5t^4 - 7t^2 + 2 = 0. \] Questa è un'equazione polinomiale di quarto grado che può essere risolta tramite metodi numerici o analitici. I tempi di inversione del moto corrispondono ai punti in cui la velocità si annulla, quindi risolviamo \( v(t) = 0 \): \[ 20t^3 - 14t = 0 \] \[ t(20t^2 - 14) = 0. \] I risultati ci daranno i tempi in cui vi è un'inversione del moto. Infine, per l'annullamento dell'accelerazione, poniamo \( a(t) = 0 \): \[ 60t^2 - 14 = 0, \] da cui otteniamo i tempi corrispondenti.