Dado el campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2}+3 z\right) \mathbf{i}+(2 x+z) \mathbf{j}+\left(x^{2}-y\right) \mathbf{k} \) ¿cuál es el rotacional \( \nabla \times \mathrm{F} \) ?

Para encontrar el rotacional \( \nabla \times \mathbf{F} \) del campo vectorial \( \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2}+3 z\right) \mathbf{i}+(2 x+z) \mathbf{j}+\left(x^{2}-y\right) \mathbf{k} \), usamos la fórmula del rotacional: \[ \nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} - \left(\frac{\partial F_z}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial z}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k} \] Calculamos cada componente: 1. \( F_x = y^{2} + 3z \), \( F_y = 2x + z \), \( F_z = x^{2} - y \). - Para la componente \( i \): \[ \frac{\partial F_z}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial F_y}{\partial z} = 1 \quad \Rightarrow \quad -1 - 1 = -2 \] - Para la componente \( j \): \[ \frac{\partial F_z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial F_x}{\partial z} = 3 \quad \Rightarrow \quad 2x - 3 \] - Para la componente \( k \): \[ \frac{\partial F_y}{\partial x} = 2, \quad \frac{\partial F_x}{\partial y} = 2y \quad \Rightarrow \quad 2 - 2y \] Combinando todos los resultados, tenemos: \[ \nabla \times \mathbf{F} = -2 \, \mathbf{i} - (2x - 3) \, \mathbf{j} + (2 - 2y) \, \mathbf{k} \] Por lo tanto, el rotacional \( \nabla \times \mathbf{F} \) es: \[ \nabla \times \mathbf{F} = -2 \, \mathbf{i} - (2x - 3) \, \mathbf{j} + (2 - 2y) \, \mathbf{k} \]