Sumas de Riemann Obtenga el área bajo la curvade a funcion: \( f(x)=x^{3}+2 x^{2}+1 \) Intervalo: \( x_{1}=0 \) y \( x_{2}=2 \)

Para encontrar el área bajo la curva de la función \( f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 1 \) en el intervalo de \( x_{1}=0 \) a \( x_{2}=2 \) usando sumas de Riemann, primero dividimos el intervalo en \( n \) subintervalos de igual ancho \( \Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} \). Luego seleccionamos un punto en cada subintervalo, como el extremo izquierdo. La suma de Riemann se expresa como: \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f\left(0 + i\Delta x\right) \Delta x \] Sustituyendo la función y evaluando en los puntos elegidos, finalmente tomamos el límite cuando \( n \) tiende a infinito para encontrar el área. Para calcularlo, primero evaluamos \( f(x) \) en 0, 0.5, 1, 1.5,... hasta 2, y cómo se suman esos valores multiplicados por \( \Delta x \). Al tomar el límite y evaluarlo obtendremos el área deseada. Como resultado, el área exacta también se puede obtener directamente al integrar la función: \[ \int_{0}^{2} (x^{3} + 2x^{2} + 1) \, dx, \] lo cual resultará en 16/3 o aproximadamente 5.33.