4. Tính tích phân hàm phức sau: $$ I=\int_{C}^{(2 Z+1)} d Z $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Xét hàm phức $$ f(Z)=2Z+1 $$. Hàm này là hàm đa trị trên toàn bộ mặt phẳng phức (tức là hàm toàn phần) nên có nguyên hàm trên toàn bộ $$\mathbb{C}$$.

2. Tìm nguyên hàm $$ F(Z) $$ của hàm $$ f(Z) $$:

Ta cần tìm $$ F(Z) $$ sao cho
   $$
   F'(Z)=2Z+1.
   $$
   Một nguyên hàm rõ ràng là
   $$
   F(Z)=Z^2+Z,
   $$
   vì
   $$
   \frac{d}{dZ}(Z^2+Z)=2Z+1.
   $$

3. Áp dụng định lý cơ bản của giải tích đối với tích phân đường của các hàm holomorfic: Nếu $$ C $$ là một đường đi nối điểm $$ Z_0 $$ đến $$ Z_1 $$ và $$ F(Z) $$ là nguyên hàm của $$ f(Z) $$ thì ta có
   $$
   \int_C (2Z+1)\,dZ = F(Z_1)-F(Z_0)=\left(Z_1^2+Z_1\right)-\left(Z_0^2+Z_0\right).
   $$

4. Trường hợp đặc biệt: Nếu đường $$ C $$ là đường kín (tức $$ Z_0=Z_1 $$), theo định lý tích phân đường của hàm holomorfic, ta có
   $$
   \int_C (2Z+1)\,dZ = 0.
   $$

Vậy, kết quả của tích phân phụ thuộc vào các điểm đầu và cuối của đường $$ C $$:

- Nếu $$ C $$ nối $$ Z_0 $$ đến $$ Z_1 $$, thì
  $$
  I=\int_C (2Z+1)\,dZ = Z_1^2+Z_1 - \left(Z_0^2+Z_0\right).
  $$
- Nếu $$ C $$ là đường kín, thì
  $$
  I=\int_C (2Z+1)\,dZ = 0.
  $$
Tích phân $$ I=\int_{C} (2Z+1)\,dZ $$ phụ thuộc vào đường $$ C $$. Nếu $$ C $$ là đường kín, kết quả tích phân là 0. Nếu $$ C $$ nối điểm $$ Z_0 $$ đến $$ Z_1 $$, kết quả là $$ Z_1^2 + Z_1 - (Z_0^2 + Z_0) $$.

4. Tính tích phân hàm phức sau: \( I=\int_{C}^{(2 Z+1)} d Z \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions