\( \left. \begin{array} { l } { f ( x ) = x ^ { n } } \\ { f ^ { \prime } ( x ) = n x ^ { n - 1 } } \\ { \int x d x = x ^ { 2 } \quad \int 2 x d x } \\ { = \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } } \end{array} \right. \)

Claro, vamos a analizar las funciones y las integrales que has proporcionado. 1. **Función y derivada**: - La función \( f(x) = x^n \) es una función polinómica. - Su derivada, que se denota como \( f'(x) \), se calcula utilizando la regla de la potencia: \[ f'(x) = n x^{n-1} \] 2. **Integral**: - La integral de \( x \) con respecto a \( x \) se expresa como: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] donde \( C \) es la constante de integración. - Para la integral de \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C \] 3. **Integral general**: - La integral de \( x^n \) se puede generalizar como: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \] En resumen, hemos analizado la función \( f(x) = x^n \), su derivada \( f'(x) = n x^{n-1} \), y las integrales de \( x \) y \( 2x \). Si necesitas más detalles o ejemplos específicos, no dudes en preguntar.