Gegee die funksic $$ y=3 x^{2} $$, (1) Bepaal die vergelyking van die inverse van die funksie, (2) Skets die grafieke van $$ y=3 x^{2} $$ en sy inverse op dieselfode nssestelsel. Toon die simmetrie-as. (3) Bereken die kodrdinate van die snypunt van $$ y=3 x^{2} $$ en sy inverie,

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Ons gegewe funksie is

y = 3·x².

Let asseblief daarop dat die funksie nie eenduidig (injektief) is oor die heel getalstelletjie nie, aangesien 3·(–x)² = 3·x². Gewoonlik beperk ons dus die domein tot x ≥ 0 sodat die funksie in 'n een-tot-een verhouding verander en 'n regte inverse bestaan.

–––––––––––––––––––––––––––––––
1. Bepaal die vergelyking van die inverse van die funksie

Met die domeinbeperking x ≥ 0 is die funksie:

y = 3·x², x ≥ 0.

Om sy inverse te vind, doen ons die volgende:

a) Swapsimboliseer x en y:

x = 3·y².

b) Los op vir y:

y² = x / 3

Neem die positiewe vierkantswortel (aangesien y ≥ 0 as gevolg van die oorspronklike domeinbeperking):

y = √(x / 3).

Dus is die inverse funksie:

f⁻¹(x) = √(x / 3), waar x ≥ 0.

–––––––––––––––––––––––––––––––
2. Skets die grafieke van y = 3·x² en sy inverse op dieselfde koordinatestelsel en toon die simmetrie-as

• Die grafiek van y = 3·x² is 'n parabool met sy topo (oorsprong) by (0, 0) en, met die domein x ≥ 0, slegs die regtertak (ewers wyd steil word) bekyk.

• Die grafiek van y = √(x/3) is die vierkantswortgrafiek wat ook begin by (0, 0) en stadig styg.

• Aangesien in die proses om 'n inverse te kry, word x en y uitgeruil, sal die grafieke simmetries wees oor die lyn y = x. Hierdie lyn is dus die simmetrie-as (of refleksie-as) van die twee grafieke.

Om dit kortliks te verduidelik: As jy elke punt (a, b) op die grafiek van y = 3·x² neem, dan sal die punt (b, a) op die grafiek van sy inverse lê. Hierdie refleksie oor y = x skep die simmetrie wat in die skets getoon sal word.

–––––––––––––––––––––––––––––––
3. Bereken die koördinate van die snypunte van y = 3·x² en sy inverse

Die snypunte van 'n funksie en sy inverse lê altyd op die lyn y = x. Om die snypunte te vind, los ons die vergelyking op waar y = 3·x² en y = x:

x = 3·x².

Bring alles na een kant:

3·x² – x = 0.

Faktoreer uit x:

x(3·x – 1) = 0.

Hieruit kry ons:
  x = 0 of 3·x – 1 = 0 (dit gee x = 1/3).

Aangesien y = x op hierdie punte, kry ons:
  By x = 0: y = 0.
  By x = 1/3: y = 1/3.

Dus lê die snypunte by:
  (0, 0) en (1/3, 1/3).

–––––––––––––––––––––––––––––––
Samevatting:

1. Die inverse van y = 3·x² (met domein x ≥ 0) is:
  f⁻¹(x) = √(x / 3), x ≥ 0.

2. Die grafieke van y = 3·x² (slegs vir x ≥ 0) en y = √(x / 3) is simmetries oor die lyn y = x.

3. Hulle snypunte is op (0, 0) en (1/3, 1/3).

Hierdie antwoorde voltooi die gevraagde berekeninge en sketse.
Die inverse van die funksie $$ y = 3x^{2} $$ (met x ≥ 0) is $$ f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x}{3}} $$. Die grafieke van die funksie en sy inverse is simmetries oor die lyn y = x. Hulle snypunte is by (0, 0) en (1/3, 1/3).

Gegee die funksic \( y=3 x^{2} \), (1) Bepaal die vergelyking van die inverse van die funksie, (2) Skets die grafieke van \( y=3 x^{2} \) en sy inverse op dieselfode nssestelsel. Toon die simmetrie-as. (3) Bereken die kodrdinate van die snypunt van \( y=3 x^{2} \) en sy inverie,

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Pre Calculus Questions