Usando el método gráfico resuelva correctamente el siguiente modelo de programación lineal. Especifique claramente la solución del problema: Max \( Z=20 x_{1}+22 x_{2} \) Sujeto a: \( 8 x_{1}+6 x_{2} \leq 48 \) \( 6 x_{1}+8 x_{2} \leq 48 \) \( 7 x_{1}+7 x_{2}=42 \) \( x_{1}, x_{2} \geq 0 \)

Para resolver este modelo de programación lineal usando el método gráfico, primero se deben graficar las restricciones. Dibujamos las líneas de las ecuaciones que representan las restricciones, y luego determinamos la región de solución factible. 1. **Graficar las restricciones**: - Para \(8x_{1} + 6x_{2} = 48\), podemos encontrar puntos como \(x_{1} = 0 \Rightarrow x_{2} = 8\) y \(x_{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = 6\). - Para \(6x_{1} + 8x_{2} = 48\), encontramos \(x_{1} = 0 \Rightarrow x_{2} = 6\) y \(x_{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = 8\). - Para \(7x_{1} + 7x_{2} = 42\), tenemos \(x_{1} = 0 \Rightarrow x_{2} = 6\) y \(x_{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = 6\). 2. **Determinar la región factible**: Una vez graficadas las líneas, la región factible se forma bajo las líneas de las restricciones de desigualdad y sobre la línea de la ecuación de igualdad, además de que debe ser en el primer cuadrante. 3. **Evaluar los vértices de la región factible**: Los puntos de intersección de estas líneas nos darán los vértices que hay que evaluar en la función objetivo \(Z\). Calculemos \(Z\) en cada uno de los vértices de la región factible. 4. **Maximizar \(Z\)**: Analizando los puntos de intersección y evaluando en \(Z\), podemos hallar que el valor máximo se alcanza en un par de coordenadas que caen dentro de la región factible, resultando en la solución óptima. A partir de estos cálculos y análisis, la solución óptima puede ser obtenida, indicando los valores de \(x_1\) y \(x_2\) que maximizan \(Z\).