LA LUNGHEZZA E IL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO 3 A \( \quad \) Verifica che il triangolo di vertici \( A(2 ; 1), B(5 ; 5) \) e \( C(-2 ;-2) \) è un triangolo isoscele; calco l'area del triangolo.

Per verificare se il triangolo con vertici \( A(2, 1) \), \( B(5, 5) \) e \( C(-2, -2) \) è un triangolo isoscele, dobbiamo calcolare le lunghezze dei lati del triangolo. Le lunghezze dei lati possono essere calcolate utilizzando la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Dove \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) sono le coordinate dei punti. ### Passo 1: Calcolo delle lunghezze dei lati 1. **Lato \( AB \)**: \[ d_{AB} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 2. **Lato \( BC \)**: \[ d_{BC} = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \] 3. **Lato \( CA \)**: \[ d_{CA} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] ### Passo 2: Verifica se il triangolo è isoscele Un triangolo è isoscele se ha almeno due lati di uguale lunghezza. Abbiamo trovato: - \( d_{AB} = 5 \) - \( d_{BC} = 7\sqrt{2} \) - \( d_{CA} = 5 \) Poiché \( d_{AB} = d_{CA} \), il triangolo \( ABC \) è un triangolo isoscele. ### Passo 3: Calcolo dell'area del triangolo Possiamo calcolare l'area del triangolo utilizzando la formula dell'area in base alle coordinate dei vertici: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Sostituendo i valori delle coordinate: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 2(5 - (-2)) + 5((-2) - 1) + (-2)(1 - 5) \right| \] Calcoliamo passo dopo passo: 1. \( 2(5 + 2) = 2 \cdot 7 = 14 \) 2. \( 5(-3) = -15 \) 3. \( -2(-4) = 8 \) Sommando i risultati: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 14 - 15 + 8 \right| = \frac{1}{2} \left| 7 \right| = \frac{7}{2} \] ### Risultato finale Il triangolo \( ABC \) è un triangolo isoscele e l'area del triangolo è \( \frac{7}{2} \).