10. \( \left(f_{\circ}{ }^{-1}\right)(x)=\frac{2 x+3}{x-2} \) \( f(x)=2 x+1 \) olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonu hangisine eşittir? \( \begin{array}{lll}\text { A) } 2 x & \text { B) } \frac{4 x+5}{2 x-1} \\ \text { D) } \frac{7}{x-2} & \text { E) }\end{array} \)

Verilen problemde \( f_{\circ}^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{x - 2} \) ve \( f(x) = 2x + 1 \) olarak tanımlanmıştır. Burada \( g(x) \) fonksiyonunu bulmamız gerekiyor. 1. **Adım 1: \( f(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım.** \( f(x) = 2x + 1 \) fonksiyonunun tersini bulmak için, \( y = f(x) \) ifadesini \( x \) cinsinden çözmemiz gerekiyor: \[ y = 2x + 1 \] Buradan \( x \) değerini bulmak için: \[ y - 1 = 2x \implies x = \frac{y - 1}{2} \] Bu durumda, \( f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2} \) olur. 2. **Adım 2: \( f_{\circ}^{-1}(x) \) ile \( f^{-1}(x) \) arasındaki ilişkiyi kullanarak \( g(x) \) fonksiyonunu bulalım.** Verilen \( f_{\circ}^{-1}(x) \) ifadesi, \( f(f^{-1}(x)) \) ile eşit olmalıdır. Yani: \[ f(f^{-1}(x)) = x \] Burada \( f^{-1}(x) \) yerine bulduğumuz ifadeyi koyarsak: \[ f\left(\frac{x - 1}{2}\right) = 2\left(\frac{x - 1}{2}\right) + 1 = x - 1 + 1 = x \] Bu, doğru bir ters fonksiyon olduğunu gösterir. 3. **Adım 3: \( g(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( f_{\circ}^{-1}(x) \) ifadesini kullanacağız.** \( f_{\circ}^{-1}(x) = g(f^{-1}(x)) \) olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunu bulmak için \( f^{-1}(x) \) ifadesini \( f_{\circ}^{-1}(x) \) ile ilişkilendireceğiz: \[ g\left(\frac{x - 1}{2}\right) = \frac{2x + 3}{x - 2} \] Şimdi \( x \) yerine \( 2y + 1 \) koyarak \( g(y) \) ifadesini bulalım: \[ g(y) = \frac{2(2y + 1) + 3}{(2y + 1) - 2} \] Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \[ g(y) = \frac{4y + 2 + 3}{2y - 1} = \frac{4y + 5}{2y - 1} \] Sonuç olarak, \( g(x) \) fonksiyonu: \[ g(x) = \frac{4x + 5}{2x - 1} \] Bu durumda doğru cevap **B) \( \frac{4x + 5}{2x - 1} \)** olacaktır.