3. Proprietà dei triangoli isoscel So Sia $$ A B C $$ un triangolo isoscele sulla base $$ A B $$. Consi- dera un punto $$ P $$, interno al triangolo $$ A B C $$, tale che $$ P \widehat{A} C \cong P \widehat{B C} $$. Dimostra, nell'ordine, che: a. il triangolo $$ A B P $$ è isoscele sulla base $$ A B $$; b. $$ P $$ appartiene alla bisettrice di $$ A \widehat{C} B $$.

Question

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a. **Dimostrazione che il triangolo $$ ABP $$ è isoscele sulla base $$ AB $$:**

1. **Considerazioni iniziali:**
   - Il triangolo $$ ABC $$ è isoscele sulla base $$ AB $$, quindi i lati opposti alla base sono congruenti: $$ AC = BC $$.
   - Il punto $$ P $$ è interno al triangolo $$ ABC $$ e soddisfa $$ \angle PAC \cong \angle PBC $$.

2. **Osservazione sui triangoli $$ APC $$ e $$ BPC $$:**
   - **Lati:** 
     - $$ AC = BC $$ (per ipotesi, triangolo isoscele).
     - $$ PC $$ è comune ad entrambi i triangoli.
   - **Angoli:**
     - $$ \angle PAC \cong \angle PBC $$ (dato).

3. **Applicazione del criterio di congruenza ASA (Angolo-Side-Angolo):**
   - Poiché $$ AC = BC $$, $$ \angle PAC \cong \angle PBC $$ e $$ PC $$ è comune, segue che i triangoli $$ APC $$ e $$ BPC $$ sono congruenti: $$ 	riangle APC \cong 	riangle BPC $$.

4. **Conclusione sulla congruenza dei lati:**
   - Dalla congruenza dei triangoli, ne consegue che $$ AP = BP $$.

5. **Conclusione finale:**
   - Poiché $$ AP = BP $$, il triangolo $$ ABP $$ ha due lati congruenti rispetto alla base $$ AB $$, quindi è isoscele sulla base $$ AB $$.

b. **Dimostrazione che $$ P $$ appartiene alla bisettrice di $$ \angle ACB $$:**

1. **Dalla congruenza dei triangoli $$ APC $$ e $$ BPC $$:**
   - Abbiamo già dimostrato che $$ 	riangle APC \cong 	riangle BPC $$.

2. **Conseguenze della congruenza:**
   - Gli angoli corrispondenti sono congruenti, quindi $$ \angle ACP \cong \angle BCP $$.

3. **Definizione di bisettrice:**
   - Una bisettrice di un angolo è un segmento che divide l'angolo in due angoli congruenti.

4. **Conclusione finale:**
   - Poiché $$ \angle ACP \cong \angle BCP $$, il segmento $$ CP $$ divide l'angolo $$ \angle ACB $$ in due angoli congruenti. Pertanto, $$ P $$ appartiene alla bisettrice di $$ \angle ACB $$.
a. Il triangolo $$ ABP $$ è isoscele sulla base $$ AB $$ perché $$ AP = BP $$. b. Il punto $$ P $$ appartiene alla bisettrice di $$ \angle ACB $$.

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