\( \quad u_{3}=e^{\left(i \frac{6 \pi}{4}\right)}=e^{\left(i \frac{3 \pi}{2}\right)}=-i \) Exercice: Ecrire sous les formes algébriques les racines \( 6^{\text {ème }} \) de l'unité. Exercice: Considérons l'équation : \( (E): z^{6}=\bar{z} \). 1- Montrer que si \( z \neq 0 \) et \( z \) solution de \( (E) \) alors \( |z|=1 \) 2- Résoudre l'équation \( (E) \)

Pour résoudre les exercices donnés, nous allons procéder étape par étape. ### Exercice 1: Racines \( 6^{\text{ème}} \) de l'unité Les racines \( n^{\text{ème}} \) de l'unité sont données par la formule : \[ u_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \] Dans notre cas, \( n = 6 \). Donc, les racines \( 6^{\text{ème}} \) de l'unité sont : \[ u_k = e^{i \frac{2k\pi}{6}} = e^{i \frac{k\pi}{3}} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \] Calculons chaque racine : - Pour \( k = 0 \): \[ u_0 = e^{i \cdot 0} = 1 \] - Pour \( k = 1 \): \[ u_1 = e^{i \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Pour \( k = 2 \): \[ u_2 = e^{i \frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Pour \( k = 3 \): \[ u_3 = e^{i \pi} = -1 \] - Pour \( k = 4 \): \[ u_4 = e^{i \frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Pour \( k = 5 \): \[ u_5 = e^{i \frac{5\pi}{3}} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \] Les racines \( 6^{\text{ème}} \) de l'unité sous forme algébrique sont donc : \[ 1, \quad \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad -1, \quad -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \] ### Exercice 2: Résolution de l'équation \( (E): z^{6}=\bar{z} \) #### 1. Montrer que si \( z \neq 0 \) et \( z \) solution de \( (E) \) alors \( |z|=1 \) Soit \( z = re^{i\theta} \) où \( r = |z| \) et \( \theta \) est l'argument de \( z \). L'équation devient : \[ (re^{i\theta})^6 = \bar{z} = re^{-i\theta} \] Cela se simplifie en : \[ r^6 e^{i6\theta} = re^{-i\theta} \] En séparant les modules et les arguments, nous avons : 1. Pour les modules : \[ r^6 = r \] Si \( r \neq 0 \), on peut diviser par \( r \) et obtenir \( r^5 = 1 \), donc \( r = 1 \). 2. Pour les arguments : \[ 6\theta = -\theta + 2k\pi \quad \text{pour } k \in \mathbb{Z} \] Cela donne : \[ 7\theta = 2k\pi \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{2k\pi}{7} \] Ainsi, nous avons montré que si \( z \neq 0 \) et \( z \) est une solution de \( (E) \), alors \( |z| = 1 \). #### 2. Résoudre l'équation \( (E) \) Nous avons déjà trouvé que \( |z| = 1 \) et que les arguments possibles sont : \[ \theta = \frac{2k\pi}{7} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \] Les solutions de l'équation \( (E) \) sont donc : \[ z_k = e^{i \frac{2k\pi}{7}} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \] En résumé, les solutions de l'équation \( (E) \) sont les racines \( 7^{\text{ème}} \) de l'unité : \[ z_0 = 1, \quad z_1 = e^{i \frac{2\pi}{7}}, \quad z_2 = e^{i \frac{4\pi}{7}}, \quad z_3 = e^{i \frac{6\pi}{7}}, \quad z_4 = e^{i \frac{8\pi}{7}}, \quad z_5 = e^{i \frac{10\pi}{7}}, \quad z_6 = e^{i \frac{12\pi}{7}} \]