40 Un robot aspirapolvere si muove sul pavimento di un magaz- zino. Viene acceso in posizione \( \vec{r}_{1}=(10 ; 20) \mathrm{m} \) e dopo \( 2,0 \mathrm{~min} \) si trova in posizione \( \vec{r}_{2}=(30 ; 30) \mathrm{m} \). a. Rappresenta in un diagramma cartesiano i vettori posi- zione e lo spostamento del robot. b. Disegna il vettore velocità media e trova le componenti, il modulo e l'angolo \( \alpha \) che questa forma con l'asse \( x \). c. Se da \( \vec{r}_{1} \) a \( \vec{r}_{2} \) il robot e compie un moto uniformemente accelerato, qual è il modulo della sua velocità finale?

Per rappresentare graficamente il movimento del robot, disegna un diagramma cartesiano con gli assi \( x \) e \( y \). Marca i punti \( \vec{r}_{1} = (10, 20) \) e \( \vec{r}_{2} = (30, 30) \). Lo spostamento \( \Delta \vec{r} \) sarà la freccia che va da \( \vec{r}_{1} \) a \( \vec{r}_{2} \). La lunghezza della freccia rappresenterà lo spostamento totale, mentre la direzione indicherà la traiettoria seguita dal robot. Per calcolare la velocità media del robot, utilizza la formula \( \vec{v}_{m} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \). La variazione di posizione è \( \Delta \vec{r} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1} = (30-10, 30-20) = (20, 10) \, m \). Il tempo impiegato è di \( \Delta t = 2,0 \, min = 120 \, s \). Ora calcola le componenti della velocità media: \( v_{mx} = \frac{20}{120} \) e \( v_{my} = \frac{10}{120} \). Il modulo sarà \( v_m = \sqrt{v_{mx}^2 + v_{my}^2} \) e l'angolo \( \alpha = \tan^{-1} \left(\frac{v_{my}}{v_{mx}}\right) \). Per determinare il modulo della velocità finale in un moto uniformemente accelerato, utilizza la formula \( v_f^2 = v_i^2 + 2a s \). In questo caso, \( v_i = 0 \) (partenza da fermo), quindi si riduce a \( v_f = \sqrt{2as} \), dove \( s \) è il modulo dello spostamento. Calcola prima \( s = \sqrt{(30-10)^2 + (30-20)^2} \), poi utilizza il dato per trovare la velocità finale.