21. Об’єм тіла, утвореного \( \quad \) * 2 балла обертанням рівнобедреного трикутника навколо висоти, проведеної до його основи, дорівнює \( 320 п . ~ О б ч и с л і т ь ~ \) довжину бічної сторони цього трикутника, якщо його основа дорівнює 16. Мой ответ

Пусть равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(BC\) равным \(16\) имеет высоту \(AD\), опущенную на основание (точка \(D\) – середина \(BC\)). При вращении треугольника вокруг высоты \(AD\) получается правильный круговой конус с высотой \(h=AD\) и радиусом основания \(r=BD=\frac{16}{2}=8\). Объём конуса задаётся формулой \[ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h. \] Подставляем \(r=8\) и \(V=320\pi\): \[ \frac{1}{3}\pi\cdot8^2\cdot h = 320\pi. \] Упростим: \[ \frac{1}{3}\pi\cdot64\cdot h = 320\pi \quad \Longrightarrow \quad \frac{64}{3}h = 320. \] Отсюда находим \(h\): \[ h=320\cdot\frac{3}{64} = \frac{960}{64} = 15. \] Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABD\), в котором \(AD=15\) и \(BD=8\). Длина боковой (наклонной) стороны \(AB\) находится по теореме Пифагора: \[ AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17. \] Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна \(17\).