Dada la funcionn $$ f(x)=\frac{-4 \cdot x^{2}}{x-4} $$ Determina lo que se te pide, escribe lo que se te pide entre llaves atra que sierra), a bien utiliza la notacion de intervalos abiertos o Respuesta: $$ x $$ de Puntos criticos $$ = $$ $$ \qquad $$ $$ x $$ de Mäximos relativos $$ = $$ $$ \square $$ $$ x $$ de Minimos relativos $$ = $$ $$ \square $$ Intervalos de crecimiento = $$ \qquad $$ Intervalos de decrecimiento $$ = $$ $$ \qquad $$ $$ x $$ de puntos de inflexión $$ = $$ $$ \qquad $$ Intervaios de concavidad positiva $$ = $$ $$ \qquad $$ intervalos de concavidad negativa $$ = $$ $$ \square $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

$$ f(x)=\frac{-4x^2}{x-4} $$ avec domaine $$ x\in\mathbb{R}\setminus\{4\} $$. **1. Calcul de la dérivée première $$ f'(x) $$** Soit $$ u(x)=-4x^2,\quad v(x)=x-4, $$ avec $$ u'(x)=-8x,\quad v'(x)=1. $$ La dérivée est donnée par la formule du quotient : $$ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}=\frac{(-8x)(x-4)-(-4x^2)(1)}{(x-4)^2}. $$ Développons le numérateur : $$ -8x(x-4)+4x^2=-8x^2+32x+4x^2=-4x^2+32x=-4x(x-8). $$ Ainsi, $$ f'(x)=\frac{-4x(x-8)}{(x-4)^2}. $$ **2. Points critiques** Les points critiques se trouvent lorsque $$ f'(x)=0 $$ ou est indéfinie dans le domaine de $$ f $$. - $$ f'(x)=0 $$ quand le numérateur est nul : $$ -4x(x-8)=0\quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=8. $$ - Le dénominateur s'annule en $$ x=4 $$, mais $$ x=4 $$ n'appartient pas au domaine. Les points critiques sont donc : $$ \{0,\;8\}. $$ **3. Extremums relatifs** _On étudie le signe de $$ f'(x) $$ sur les intervalles déterminés par $$ x=0 $$, $$ x=4 $$ (discontinuité) et $$ x=8 $$._ - Pour $$ x<0 $$ (par exemple $$ x=-1 $$) : $$ f'(-1)=\frac{-4(-1)[-1-8]}{(-1-4)^2}=\frac{4\cdot(-9)}{25}<0. $$ - Pour $$ 00. \] - Pour $$ 40. \] - Pour $$ x>8 $$ (par exemple $$ x=10 $$) : $$ f'(10)=\frac{-4\cdot10(10-8)}{(10-4)^2}=\frac{-40\cdot2}{36}=\frac{-80}{36}<0. $$ Ainsi, le comportement est : - En $$ x=0 $$: $$ f'(x) $$ passe de négatif à positif $$\Rightarrow$$ minimum relatif en $$ x=0 $$. - En $$ x=8 $$: $$ f'(x) $$ passe de positif à négatif $$\Rightarrow$$ maximum relatif en $$ x=8 $$. **4. Intervalles de croissance et décroissance** - $$ f(x) $$ est décroissante sur : $$ (-\infty,0) $$ - $$ f(x) $$ est croissante sur : $$ (0,4)\cup(4,8) $$ - $$ f(x) $$ est décroissante sur : $$ (8,\infty) $$ **5. Calcul de la dérivée seconde $$ f''(x) $$** À partir de $$ f'(x)=\frac{-4x(x-8)}{(x-4)^2}, $$ nous pouvons utiliser la dérivation par la formule du quotient. Soit $$ N(x)=-4x^2+32x,\quad D(x)=(x-4)^2. $$ Alors, $$ N'(x)=-8x+32,\quad D'(x)=2(x-4). $$ La dérivée seconde est : $$ f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^2}=\frac{(-8x+32)(x-4)^2-(-4x^2+32x)\,2(x-4)}{(x-4)^4}. $$ On peut factoriser un $$ (x-4) $$ : $$ f''(x)=\frac{(x-4)\Big[(-8x+32)(x-4)+8x^2-64x\Big]}{(x-4)^4}. $$ Calculons le terme entre crochets : $$ (-8x+32)(x-4) = -8x^2+32x+32x-128 = -8x^2+64x-128. $$ Ajouter $$ 8x^2-64x $$ donne : $$ -8x^2+64x-128+8x^2-64x=-128. $$ Ainsi, $$ f''(x)=\frac{-128(x-4)}{(x-4)^4}=\frac{-128}{(x-4)^3}. $$ **6. Points d'inflexion et concavité** Les points d'inflexion se trouvent quand $$ f''(x)=0 $$ ou lorsque $$ f''(x) $$ change de signe. - $$ f''(x)=\frac{-128}{(x-4)^3} $$. Le numérateur est constant $$-128$$ donc $$ f''(x)\neq0 $$ pour $$ x\neq4 $$. - $$ f''(x) $$ n'est défini qu'à $$ x\neq4 $$ et $$ x=4 $$ est déjà en dehors du domaine de $$ f $$. Vérifions le signe : - Pour $$ x<4 $$ : alors $$ (x-4)^3<0 $$ et donc $$ f''(x)=\frac{-128}{\text{négatif}}>0 $$ $$\Rightarrow$$ concavité positive. - Pour $$ x>4 $$ : alors $$ (x-4)^3>0 $$ et donc $$ f''(x)=\frac{-128}{\text{positif}}<0 $$ $$\Rightarrow$$ concavité négative. Il n'y a donc pas de point d'inflexion puisque $$ f''(x) $$ ne s'annule pas sur le domaine. **Réponses** $$ x $$ de points critiques $$ = \{0,\;8\} $$ $$ x $$ de maximums relatifs $$ = \{8\} $$ $$ x $$ de minimums relatifs $$ = \{0\} $$ Intervalles de croissance $$ = (0,4)\cup(4,8) $$ Intervalles de décroissance $$ = (-\infty,0)\cup(8,\infty) $$ $$ x $$ de points d'inflexion $$ = \varnothing $$ (aucun) Intervalles de concavité positive $$ = (-\infty,4) $$ Intervalles de concavité négative $$ = (4,\infty) $$ Voici la simplification de la réponse : - **Points critiques** : $$ x = 0 $$ et $$ x = 8 $$ - **Maximum relatif** : $$ x = 8 $$ - **Minimum relatif** : $$ x = 0 $$ - **Croissance** : $$ (0, 4) $$ et $$ (4, 8) $$ - **Décroissance** : $$ (-\infty, 0) $$ et $$ (8, \infty) $$ - **Points d'inflexion** : Aucun - **Concavité positive** : $$ (-\infty, 4) $$ - **Concavité négative** : $$ (4, \infty) $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions