Dada la función de finida implicitamente: \( 8 \cdot x \cdot y+-21 \cdot x^{4} \cdot y^{2}=\frac{3}{4} \) Entonces, \( \frac{d y}{d x}= \)

Soit la fonction implicite \[ 8xy -21x^4y^2=\frac{3}{4}. \] Nous allons différencier cette équation par rapport à \(x\). 1. Différencions le premier terme \(8xy\) en utilisant la règle du produit : \[ \frac{d}{dx}(8xy)=8\left(y+x\frac{dy}{dx}\right). \] 2. Pour le second terme \(-21x^4y^2\), appliquons la règle du produit en notant \(u=x^4\) et \(v=y^2\) : \[ \frac{d}{dx}(x^4)=4x^3\quad \text{et}\quad \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}. \] Ainsi, \[ \frac{d}{dx}(x^4y^2)=4x^3y^2+x^4\cdot 2y\frac{dy}{dx}. \] En multipliant par \(-21\), on obtient : \[ \frac{d}{dx}(-21x^4y^2)=-21\left(4x^3y^2+2x^4y\frac{dy}{dx}\right). \] 3. La dérivée de la constante du côté droit est nulle. Ainsi, l’équation différentiée est : \[ 8\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)-21\left(4x^3y^2+2x^4y\frac{dy}{dx}\right)=0. \] 4. Développons et regroupons les termes contenant \(\frac{dy}{dx}\) : \[ 8y+8x\frac{dy}{dx}-84x^3y^2-42x^4y\frac{dy}{dx}=0. \] Regroupons les termes avec \(\frac{dy}{dx}\) d’un côté : \[ 8x\frac{dy}{dx}-42x^4y\frac{dy}{dx}=-8y+84x^3y^2. \] 5. Factorisons \(\frac{dy}{dx}\) : \[ \frac{dy}{dx}\left(8x-42x^4y\right)=-8y+84x^3y^2. \] 6. En isolant \(\frac{dy}{dx}\), on obtient : \[ \frac{dy}{dx}=\frac{-8y+84x^3y^2}{8x-42x^4y}. \] Ceci est l’expression de la dérivée de \(y\) par rapport à \(x\).