12. \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x+\sqrt{3} \sin x-\sqrt{3}}{x-\frac{\pi}{6}} \) \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x+1}-m x \) Discuter selon les valeurs du paramètre " \( m \) "

**1. Calcul de** \( \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x+\sqrt{3} \sin x-\sqrt{3}}{x-\frac{\pi}{6}} \) On note que lorsque \( x \rightarrow \frac{\pi}{6} \), le numérateur tend vers : \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}-\sqrt{3} = \sqrt{3}-\sqrt{3}=0. \] De plus, le dénominateur \( x-\frac{\pi}{6} \) tend lui aussi vers 0. On a donc une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). Pour résoudre cette indétermination, on reconnaît que cette limite représente la dérivée de la fonction \[ f(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3} \] en \( x=\frac{\pi}{6} \). En effet, \[ f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{f(x)-f\left(\frac{\pi}{6}\right)}{x-\frac{\pi}{6}}. \] Calculons la dérivée de \( f(x) \) : \[ f'(x)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x. \] En évaluant cette dérivée en \( x=\frac{\pi}{6} \) : \[ f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{2}{2}=1. \] La limite est donc : \[ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x+\sqrt{3} \sin x-\sqrt{3}}{x-\frac{\pi}{6}}=1. \] --- **2. Étude de** \[ \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x+1}-m x \] On débat de la limite selon la valeur du paramètre \( m \). *Étape 1 : Factorisation dans le radical* On écrit : \[ \sqrt{9x^2+x+1}=\sqrt{9x^2\left(1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}\right)}=3x\sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}}, \] puisque \( x>0 \) pour \( x \rightarrow +\infty \). Ainsi, notre expression devient : \[ \sqrt{9x^{2}+x+1}-mx=3x\sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}}-mx. \] Factorisons \( x \) : \[ = x\left( 3\sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}}-m \right). \] *Étape 2 : Comportement asymptotique* Quand \( x \) tend vers l'infini, on a : \[ \sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}} \rightarrow 1. \] Donc, pour \( x \) grand, l'expression se comporte comme : \[ x\left( 3 - m \right). \] On en déduit : - **Si \( m < 3 \)**, alors \( 3-m>0 \) et \( x(3-m)\rightarrow +\infty \). La limite est donc \( +\infty \). - **Si \( m > 3 \)**, alors \( 3-m<0 \) et \( x(3-m)\rightarrow -\infty \). La limite est donc \( -\infty \). - **Si \( m = 3 \)**, la forme devient indéterminée \( x\left( 3\sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}}-3 \right) \). On procède alors à un développement asymptotique. *Étape 3 : Cas particulier \( m=3 \)* On écrit : \[ \sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}}. \] Pour \( u \) petit, le développement en série de Taylor de \( \sqrt{1+u} \) est : \[ \sqrt{1+u}\approx 1+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+\cdots. \] Ici, \( u=\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2} \) qui est petit lorsque \( x \) est grand. On obtient donc : \[ \sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}}\approx 1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}\right). \] Ainsi, \[ 3x\sqrt{1+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9x^2}}\approx 3x\left(1+\frac{1}{18x}+\frac{1}{18x^2}\right)=3x+\frac{1}{6}+\cdots. \] D'où, \[ \sqrt{9x^{2}+x+1}-3x\approx 3x+\frac{1}{6}-3x=\frac{1}{6}. \] La limite pour \( m=3 \) est donc : \[ \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x+1}-3x=\frac{1}{6}. \] --- **Résumé** - Pour le premier limit, on a : \[ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x+\sqrt{3} \sin x-\sqrt{3}}{x-\frac{\pi}{6}}=1. \] - Pour le second limit, en fonction du paramètre \( m \) : - Si \( m < 3 \), la limite est \( +\infty \). - Si \( m > 3 \), la limite est \( -\infty \). - Si \( m = 3 \), la limite est \( \frac{1}{6} \).