Dada la función \( f(x, y, z)=x^{2} y+y z^{2}+x z \) ¿cuál es el vector gradiente of en términos de \( i, j y k \) ?

Sea la función \[ f(x, y, z) = x^2 y + y z^2 + xz. \] 1. Calcular la derivada parcial respecto a \(x\): - La derivada de \(x^2 y\) respecto a \(x\) es \(2xy\). - La derivada de \(y z^2\) respecto a \(x\) es \(0\) (ya que no depende de \(x\)). - La derivada de \(xz\) respecto a \(x\) es \(z\). Entonces, \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + z. \] 2. Calcular la derivada parcial respecto a \(y\): - La derivada de \(x^2 y\) respecto a \(y\) es \(x^2\). - La derivada de \(y z^2\) respecto a \(y\) es \(z^2\). - La derivada de \(xz\) respecto a \(y\) es \(0\) (ya que no depende de \(y\)). Entonces, \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + z^2. \] 3. Calcular la derivada parcial respecto a \(z\): - La derivada de \(x^2 y\) respecto a \(z\) es \(0\) (ya que no depende de \(z\)). - La derivada de \(y z^2\) respecto a \(z\) es \(2yz\). - La derivada de \(xz\) respecto a \(z\) es \(x\). Entonces, \[ \frac{\partial f}{\partial z} = 2yz + x. \] El vector gradiente es: \[ \nabla f(x, y, z) = \left( 2xy+z \right) \, \mathbf{i} + \left( x^2+z^2 \right) \, \mathbf{j} + \left( 2yz+x \right) \, \mathbf{k}. \]