El recorrido de la funcián \( f(x)=\frac{5}{x+1} \)

Para analizar el recorrido de la función \( f(x) = \frac{5}{x+1} \), primero debemos identificar el dominio de la función y luego determinar los valores que puede tomar \( f(x) \). 1. **Dominio**: La función \( f(x) \) está definida para todos los valores de \( x \) excepto donde el denominador es cero. Por lo tanto, debemos resolver la ecuación: \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] Así que el dominio de \( f(x) \) es \( \mathbb{R} \setminus \{-1\) (todos los números reales excepto \( -1 \)). 2. **Comportamiento de la función**: Ahora, observemos cómo se comporta la función a medida que \( x \) se aproxima a \( -1 \) y a otros valores: - Cuando \( x \) se aproxima a \( -1 \) desde la izquierda (\( x \to -1^- \)), \( f(x) \to -\infty \). - Cuando \( x \) se aproxima a \( -1 \) desde la derecha (\( x \to -1^+ \)), \( f(x) \to +\infty \). 3. **Límites en el infinito**: También es útil considerar el comportamiento de la función cuando \( x \) tiende a \( +\infty \) y \( -\infty \): - Cuando \( x \to +\infty \), \( f(x) \to 0^+ \). - Cuando \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 0^- \). 4. **Recorrido**: A partir de lo anterior, podemos concluir que la función puede tomar todos los valores reales excepto \( 0 \). Por lo tanto, el recorrido de la función \( f(x) = \frac{5}{x+1} \) es: \[ \text{Recorrido: } \mathbb{R} \setminus \{0\} \] Esto significa que \( f(x) \) puede tomar cualquier valor real, excepto el cero.