\( ( 1 + x ^ { 2 } ) + ( y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) d y = ( 11 y ^ { 2 } ) d x \)

Para resolver la ecuación diferencial dada: \[ (1 + x^2) + (y^2 + x^2 y^2) dy = (11y^2) dx \] Primero, reorganizamos la ecuación para que todos los términos estén de un lado: \[ (1 + x^2) dy + (y^2 + x^2 y^2) dy - (11y^2) dx = 0 \] Esto se puede reescribir como: \[ (1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2) dy = (11y^2) dx \] Dividimos ambos lados por \(dx\) para obtener la forma estándar de la ecuación diferencial: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{11y^2}{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2} \] Ahora, esta es una ecuación diferencial separable. Podemos separar las variables \(y\) y \(x\): \[ \frac{dy}{y^2} = \frac{11}{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2} dx \] Ahora, integramos ambos lados. Primero, integramos el lado izquierdo: \[ \int \frac{dy}{y^2} = -\frac{1}{y} + C_1 \] Ahora, necesitamos integrar el lado derecho. Para esto, primero simplificamos la expresión. Sin embargo, la integral del lado derecho puede ser complicada. Vamos a calcularla: \[ \int \frac{11}{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2} dx \] Voy a proceder a calcular esta integral. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using partial integration formula: \(\int \frac{11}{1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}} dx\) - step1: Rewrite the expression: \(\int \frac{11}{1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}} dx\) - step2: Rewrite the expression: \(\int 11\times \frac{1}{1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}} dx\) - step3: Use properties of integrals: \(11\times \int \frac{1}{1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}} dx\) - step4: Evaluate the integral: \(11\times \int \left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1} dx\) - step5: Prepare for integration by parts: \(\begin{align}&u=\left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1}\\&dv=dx\end{align}\) - step6: Calculate the derivative: \(\begin{align}&du=-\frac{2x}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx\\&dv=dx\end{align}\) - step7: Evaluate the integral: \(\begin{align}&du=-\frac{2x}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx\\&v=x\end{align}\) - step8: Substitute the values into formula: \(11\left(\left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1}x-\int -\frac{2x}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}}\times x dx\right)\) - step9: Calculate: \(11\left(\left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1}x-\int -\frac{2x^{2}}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}} dx\right)\) - step10: Calculate: \(11\left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1}x-11\times \int -\frac{2x^{2}}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}} dx\) - step11: Use properties of integrals: \(11\left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1}x+11\times \int \frac{2x^{2}}{\left(1+y^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)^{2}} dx\) - step12: Evaluate the integral: \(11\left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1}x-\frac{11x}{1+y^{2}+\left(1+y^{2}\right)x^{2}}-\frac{11}{1+y^{2}}\times \arctan\left(x\right)+\frac{22}{1+y^{2}}\times \arctan\left(x\right)\) - step13: Simplify: \(11\left(1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}\right)^{-1}x-\frac{11x}{1+y^{2}+x^{2}+y^{2}x^{2}}-\frac{11\arctan\left(x\right)}{1+y^{2}}+\frac{22\arctan\left(x\right)}{1+y^{2}}\) - step14: Simplify: \(-\frac{11\arctan\left(x\right)}{1+y^{2}}+\frac{22\arctan\left(x\right)}{1+y^{2}}\) - step15: Rewrite the expression: \(11\left(1+y^{2}\right)^{-1}\arctan\left(x\right)\) - step16: Express with a positive exponent: \(11\times \frac{1}{1+y^{2}}\times \arctan\left(x\right)\) - step17: Rewrite the expression: \(\frac{11\arctan\left(x\right)}{1+y^{2}}\) - step18: Add the constant of integral C: \(\frac{11\arctan\left(x\right)}{1+y^{2}} + C, C \in \mathbb{R}\) La integral del lado derecho se evalúa como: \[ \int \frac{11}{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2} dx = \frac{11 \arctan(x)}{1 + y^2} + C_2 \] Ahora, juntamos los resultados de ambas integraciones: \[ -\frac{1}{y} = \frac{11 \arctan(x)}{1 + y^2} + C \] donde \(C\) es una constante que combina \(C_1\) y \(C_2\). Finalmente, podemos reorganizar la ecuación para expresar \(y\) en términos de \(x\) y la constante \(C\): \[ -\frac{1}{y} - \frac{11 \arctan(x)}{1 + y^2} = C \] Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.