Pregunta
upstudy study bank question image url

The curve below has a horizontal tangent line at the point \( (3,7) \) and at one other point. Find the coordinates of the second point where the curve has a horizontal tangent line. \( 25 x^{2}-150 x+9 y^{2}-36 y=-36 \) \( x \)-coordinate of second point \( = \) \( y \)-coordinate of second point \( = \) Submit Question

Ask by Salazar Valdez. in the United States
Mar 12,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The second point where the curve has a horizontal tangent is at \( (3, -3) \).

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

The Deep Dive

To find the second point where the given curve has a horizontal tangent line, we start by implicitly differentiating the given equation \[ 25 x^{2} - 150 x + 9 y^{2} - 36 y = -36. \] Taking the derivative with respect to \( x \): \[ 50 x - 150 + 18 y \frac{dy}{dx} - 36 \frac{dy}{dx} = 0. \] This simplifies to: \[ \frac{dy}{dx} (18y - 36) = 150 - 50x. \] Now, for the tangent to be horizontal, \( \frac{dy}{dx} \) must equal zero. Thus, we set: \[ 18y - 36 = 0 \Rightarrow y = 2. \] To find the corresponding \( x \)-coordinates, substitute \( y = 2 \) back into the original equation: \[ 25 x^{2} - 150 x + 9(2^{2}) - 36(2) = -36, \] which simplifies to: \[ 25 x^{2} - 150 x + 36 - 72 = -36 \] or \[ 25 x^{2} - 150 x + 36 = -36. \] Rearranging gives: \[ 25 x^{2} - 150 x + 72 = 0. \] Dividing through by 25 leads to: \[ x^{2} - 6x + \frac{72}{25} = 0. \] Applying the quadratic formula \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - \frac{288}{25}}}{2}. \] Calculating the discriminant: \[ 36 - \frac{288}{25} = \frac{900 - 288}{25} = \frac{612}{25}. \] Now solving for \( x \): \[ x = \frac{6 \pm \frac{\sqrt{612}}{5}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{612}}{10}. \] Using the approximate value for \( \sqrt{612} \) (which is about 24.74), we get: \[ x \approx 5.47 \text{ and } 0.53. \] Since we are looking for the second point and already know one point is \( (3, 7) \), we can check an approximate value more accurately. So the result is: \( x \)-coordinate of second point \( = 0.53 \) \( y \)-coordinate of second point \( = 2 \)

preguntas relacionadas

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad