k) \( f(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x+3}} \)

Para que la función f(x) = √[(x – 2)/(x + 3)] esté definida se requieren dos condiciones: 1. El denominador debe ser distinto de cero:   x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ –3 2. La expresión dentro de la raíz (el radicando) debe ser mayor o igual que cero:   (x – 2)/(x + 3) ≥ 0 Analicemos la desigualdad (x – 2)/(x + 3) ≥ 0: Paso 1. Identificamos los puntos críticos:  • El numerador se anula en x = 2.  • El denominador se anula en x = –3 (y ya lo hemos excluido). Paso 2. Dividimos la recta real en intervalos determinados por los puntos críticos:  I. x < –3  II. –3 < x < 2  III. x > 2 Paso 3. Determinamos el signo de la fracción en cada intervalo: - Intervalo I: x < –3  Elijamos, por ejemplo, x = –4  Numerador: –4 – 2 = –6 (negativo)  Denominador: –4 + 3 = –1 (negativo)  La fracción es (–)/(–) = +, por lo que se cumple la desigualdad. - Intervalo II: –3 < x < 2  Elijamos, por ejemplo, x = 0  Numerador: 0 – 2 = –2 (negativo)  Denominador: 0 + 3 = 3 (positivo)  La fracción es (–)/(+) = –, no satisface la desigualdad. - Intervalo III: x > 2  Elijamos, por ejemplo, x = 3  Numerador: 3 – 2 = 1 (positivo)  Denominador: 3 + 3 = 6 (positivo)  La fracción es (+)/(+) = +, se cumple la desigualdad. Además, en x = 2 el numerador es cero, lo que hace que la fracción sea 0 (y 0 ≥ 0 es válido). En conclusión, la desigualdad (x – 2)/(x + 3) ≥ 0 se verifica para:  • x en (–∞, –3)  y  • x en [2, ∞) Recordando la condición de que x ≠ –3, el dominio de la función se expresa como: Dominio de f(x): { x ∈ ℝ : x < –3 o x ≥ 2 } = (–∞, –3) ∪ [2, ∞).