Si \( \begin{aligned} a \sqrt{b} & =32 \text { y } b \sqrt{a}=72 \\ R & =\sqrt{a \sqrt{a}} \cdot \sqrt{b \sqrt{b}}\end{aligned} \)

Consideremos el sistema \[ a\sqrt{b} = 32 \quad \text{y} \quad b\sqrt{a} = 72. \] Además, se nos define \[ R = \sqrt{a\sqrt{a}} \cdot \sqrt{b\sqrt{b}}. \] **Paso 1. Expresar \( R \) en términos de potencias de \( a \) y \( b \).** Observamos que \[ \sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a \cdot a^{1/2}} = \sqrt{a^{3/2}} = a^{3/4}, \] y de forma similar, \[ \sqrt{b\sqrt{b}} = b^{3/4}. \] Por lo tanto, \[ R = a^{3/4} \cdot b^{3/4} = (ab)^{3/4}. \] **Paso 2. Encontrar el valor de \( ab \) a partir del sistema dado.** Multiplicamos las dos ecuaciones: \[ (a\sqrt{b}) \cdot (b\sqrt{a}) = 32 \cdot 72. \] En el lado izquierdo reunimos los términos: \[ a\sqrt{b} \cdot b\sqrt{a} = ab \cdot \sqrt{a}\sqrt{b} = ab \cdot \sqrt{ab} = (ab)^{3/2}. \] Por lo tanto, \[ (ab)^{3/2} = 32 \cdot 72. \] Calculemos el producto: \[ 32 \cdot 72 = 2304. \] Así, \[ (ab)^{3/2} = 2304. \] Para despejar \( ab \), elevamos ambos lados a la potencia \( \frac{2}{3} \): \[ ab = 2304^{\frac{2}{3}}. \] **Paso 3. Evaluar \( R \).** Hemos obtenido que \[ R = (ab)^{3/4} = \left(2304^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} = 2304^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 2304^{\frac{1}{2}}. \] Es decir, \[ R = \sqrt{2304}. \] **Paso 4. Calcular la raíz cuadrada de 2304.** Descomponemos el número: \[ 2304 = 2^8 \cdot 3^2, \] por lo tanto, \[ \sqrt{2304} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48. \] **Conclusión:** El valor de \( R \) es \[ \boxed{48}. \]