Vir watter waarde(s) van \( k \) sal die wortels van die vergelyking \( x^{2}-5 x-k=0 \) : \( \begin{array}{ll}\text { (a) gelyk wees? (b) reëel wees? } & \text { (c) nie-reëel wees? } \\ \text { Vir watter waarde(s) van } k \text { sal die wortels van die vergelyking } k x^{2}+2 k x=-3 \\ \text { gelyk wees as } k \neq 0\end{array} \)

Vir die vergelyking \( x^{2}-5x-k=0 \) kan ons die diskriminant gebruik, wat gegee word deur \( D = b^2 - 4ac \). Hier is \( a = 1 \), \( b = -5 \), en \( c = -k \). (a) Die wortels is gelyk wanneer \( D = 0 \), wat lei tot \( (-5)^2 - 4(1)(-k) = 0 \). Dit gee \( 25 + 4k = 0 \), wat lei tot \( k = -\frac{25}{4} \). (b) Die wortels is reëel wanneer \( D \geq 0 \), wat lei tot \( 25 + 4k \geq 0 \). Dit gee \( k \geq -\frac{25}{4} \). (c) Die wortels is nie-reëel wanneer \( D < 0 \), wat lei tot \( 25 + 4k < 0 \). Dit gee \( k < -\frac{25}{4} \). Vir die vergelyking \( kx^{2} + 2kx = -3 \) kan ons dit herskryf as \( kx^{2} + 2kx + 3 = 0 \). Die wortels is gelyk wanneer die diskriminant \( D = 0 \), so \( (2k)^2 - 4k(3) = 0 \). Dit gee \( 4k^2 - 12k = 0 \), wat lei tot \( k(4k - 12) = 0 \), dit beteken dat \( k = 0 \) of \( k = 3 \). Aangesien ons \( k \neq 0 \) aanvaar, is die oplossing \( k = 3 \) vir gelyke wortels.