5.- Normalizar el vector \( \quad a=\frac{1}{\sqrt{6}} i-\frac{1}{\sqrt{6}} j-\frac{1}{\sqrt{6}} k \)

Para normalizar el vector \( a = \frac{1}{\sqrt{6}} i - \frac{1}{\sqrt{6}} j - \frac{1}{\sqrt{6}} k \), primero debemos calcular su magnitud. La magnitud se calcula usando la fórmula \( \|a\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \), donde \( x, y, z \) son las componentes del vector. En este caso, \( x = \frac{1}{\sqrt{6}}, y = -\frac{1}{\sqrt{6}}, z = -\frac{1}{\sqrt{6}} \). La magnitud \( \|a\| \) es \( \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{3}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Una vez que tenemos la magnitud, podemos normalizar el vector dividiendo cada componente por la magnitud: \[ \hat{a} = \frac{1}{\|a\|} a = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{1}{\sqrt{6}} i - \frac{1}{\sqrt{6}} j - \frac{1}{\sqrt{6}} k \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{6}} i - \frac{1}{\sqrt{6}} j - \frac{1}{\sqrt{6}} k \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} i - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} j - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} k \right). \] Por lo tanto, el vector normalizado es \( \hat{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} i - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} j - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} k \). Y ya está, ¡listo para ser usado!