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Caso 3: La densidad de un material en Tesla está dada por \( \rho(\dot{r}, \theta, \phi)=r^{2} \operatorname{sen}(\phi) \cdot \) Cuál es el diferencial de volumen que debe usarse en coordenadas esféricas?

Ask by Matthews Hardy. in Mexico
Mar 15,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es \( dV = r^2 \sin(\phi) \, dr \, d\theta \, d\phi \).

Solución

Para encontrar el diferencial de volumen en coordenadas esféricas, primero recordemos cómo se definen las coordenadas esféricas. En este sistema, un punto en el espacio se describe mediante tres coordenadas: \( r \) (la distancia desde el origen), \( \theta \) (el ángulo azimutal) y \( \phi \) (el ángulo polar). El diferencial de volumen \( dV \) en coordenadas esféricas se expresa como: \[ dV = r^2 \sin(\phi) \, dr \, d\theta \, d\phi \] Aquí, cada uno de los términos tiene el siguiente significado: - \( r^2 \) proviene de la relación entre las coordenadas cartesianas y esféricas. - \( \sin(\phi) \) es el factor que se introduce debido a la proyección del volumen en el plano. Por lo tanto, el diferencial de volumen que se debe usar en coordenadas esféricas es: \[ dV = r^2 \sin(\phi) \, dr \, d\theta \, d\phi \]

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En coordenadas esféricas, el diferencial de volumen se expresa como \( dV = r^2 \sin(\phi) \, dr \, d\theta \, d\phi \). Aquí, \( r \) representa la distancia radial desde el origen, \( \theta \) es el ángulo azimutal, y \( \phi \) es el ángulo polar. Esta fórmula es fundamental para integrar funciones en espacios tridimensionales, ya que se ajusta a la geometría de la esfera. Para resolver problemas relacionados con la densidad en coordenadas esféricas, asegúrate de definir correctamente los límites de integración. Comúnmente, para \( r \), los límites pueden ser de \( 0 \) a algún valor máximo, \( \theta \) puede variar de \( 0 \) a \( 2\pi \), y \( \phi \) usualmente va de \( 0 \) a \( \pi \). Ajustar estos límites correctamente evitará errores comunes de integración. ¡Diviértete integrando y explorando materiales densos!

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